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它是一个观念，还是它根本就不存在？我们可以把集合当作以‘xwyz’开始的代码集合，来说明它。就我已经请教过的朋友和参考书所知，没有这样的说法：集合是空的。集合中所有的数字都是不寻常的，其排列像英雄史诗式两行诗一样有规律。只要你留心注意，似乎很容易发现空集。但是这些不期而遇者（如果称为不期而遇，那就像你昨天在楼梯上遇到的并不是那里的人一样）并不能很好保证在数学上的存在性。存在性仅能从公理上推导演绎。既然这样就应该从集合论的公理本身出发。对你来说似乎没有必要那么严格，但是如果你想让数学通往独立并极成功的新领域，那么其中的创造性物质还必须从数学中推导出来，而不会来自其他的任何地方（比如经验）。而事实上，早在二十世纪早期已经形成为著名数学学科（有些人称为根源）的集合论的七公理之一就是假定了空集的存在。
如果一些事情使你费功夫的话，例如空集，那么就直接引入一个纯粹的声明来说明其存在（公理就是发布的所有人都信服的基本原理）。那么就要注意到那些数学规则和你声明的东西要相互协调。数学令人着迷的特性之一就是这些创造物与原理结合起来去控制它们的行为（在执行过程中它去让执行者知道0是形容词，名词还是动词又变得很困难）。从概念上说与这些原理应该有不多不少的事实。但是随着过程的进行，这个领域逐渐就展开了。从实践的优点看，它们采取的是事先预定的前提而不是结论。
那也就是说一直以来我们必须承认空集是一个特例。提出集合论原理的第一人厄恩斯特·泽尔麦罗（Ernst Zermelo）在1908这样来表达他的第二个公理：假定存在一个不包含任何元素的集合，空集0。为什么要假定呢？假定的空集是怎样存在的呢？我想我们在这里所看的和我们在第七章承认那些从远方被召来到北爱尔兰的居民身份的遭遇一样。也许在第七代以后这样的家庭会被当作本地人吧。
如果你仍对生活中是否和为什么存在空集感到不满的话，那么以安塞姆（Anselm）对上帝存在的论证方式进行一下讨论你可能会满意些。它是由一个名叫韦斯利·塞尔曼（Wesley Salmon）的哲学家提出来的。他写到：“愚人会在心里认为不存在空集，如果那是真的话，那么所有的集合都为空集，故空集存在。”
无论如何人们已经认定了空集存在或者已经找到了它。其中对它的一种表示方法就是用一个成对的大括号，并且其中无任何字符：｛｝。另外一种表示方法Ø；，它展示了我们在一千多年里研究达到了什么程度，因为旧时也分别引用过φ，θ来表示0。不论符号表示的变化是否恰当，其意义并不是说甚至连一个0也不存在这个集合中，而是确认了0作为一个成熟的数字的地位。
通过0也就是空集来获得一切事物，我们的目的就是展示李尔王的错误。这种技巧是在1923年由约翰·冯·诺尔曼努力实现的。尽管你可能会认为它尽管简单和比较含糊，我们还是习惯于接受它。冯·诺尔曼说，把0等同于空集，并不是说在空集里含有0。现在认为容纳一个空集的集合为｛Ø；｝（如果你愿意的话也可以选择｛｛｝｝）。既然这个集合包含了一个元素即空集，那么我们就把它等同于数字1。那么数字2呢？就可以用一个集合再容纳当前的集合｛Ø；，｛Ø；｝｝来表示，等等。每一个新的集合都容纳了当前的所有集合，并代表了新的整数。
好了！我们已经从空集得到了所有的整数，从这些整数出发用众所周知的方式我们又可以得到负数、分数、实数和虚数。十九世纪的数学家利奥波德·克如奈克（Leopold Kronecker）（ 康托尔的对手）说：“上帝创造了整数，其余的部分由人类来完成。”按冯·诺尔曼的讨论方法连整数也是人类来完成的，而上帝——欧肯的精神——被独自晾在一旁了；里尔克（Rilke）在1925写到“我们就是那些默默无闻辛勤劳作的蜜蜂，我们的任务就是把抽象的浅显化”。
你可能会为冯·诺尔曼的模糊方法感到不安，因为它有一种像在针尖上跳舞的天使的意味。我们为数学精确度所付出的代价就是受到了某种程度的约束（像我们在十和十一章所看到的那样），提醒你的是，并不是要让新生的事物从我们的知觉中萌芽，而是要把它和我们的知觉联系起来。
我们已经经历过的这整个过程，就像一个很久以后才知道自己背离了目标的侦探一样，抱定决心要追踪一个不明的线索。不能仅在数学上使用递推回归的方法，那是因为我们的思想被引向了形式主义，就像将其排除于人类之外，使它像上帝一样。只有当我们投入很大的精力来考虑这个数字，我们才能意识到它的空洞，在我们所知的数字上加0和进行相乘，可以扩展到更大的一般性，更容易使我们理解0。这就是大范例引导我们到达的地方？——或者说是形式主义而不是职业病趋向于错误的扩大与消失的内容的相关性？所以这些促进思考的符号最终要由其实质所替代。
然而在许多情况下，数学像一个花园一样，需要经常整理和修剪那些移植入的并且可能茁壮成长的植物，尽管它可能是突兀的，最终这个最好的扎结物也是去承认那些原理。冯·诺尔曼所描述的“要习惯接受”就是一种理解从根上升到茎的方式。
现在“承认真理”已经归结为遵循严密的推理演绎，如果一个形式主义者告诉你最符合的常规做法，而却从否定它出发，那么你会得到什么呢？
一个细微的地方就可能是正误的分界，
这是菲茨杰拉德（Fitzgerald）对奥马尔·凯亚姆（Omar Khayyam）的翻译中的一句话。如果我们不加区分将它们随意连接在一起会怎么样？下面展示了美国哲学家C。 S。 皮尔斯（C。S。Peirce）在1880年的论文中的事实。
这个故事是离奇的。皮尔斯从来没有出版过论文，即使出版过也会被忽略的，因为他一直都缺乏别人的赏识。他说“我的大脑混乱不能像别人一样思考”。他所展示的是重新露面的和亨利·莫里斯·舍菲尔（Henry Maurice Sheffer）在1913年所研究出来的几乎一样的符号论。亨利·莫里斯·舍菲尔的不朽业绩就是对符号的研究。一个书法家关心形态的热情就象关心他们自己一样，你可以把亨利·莫里斯·舍菲尔当作这样的人。但是我们将沿着皮尔斯所研究的方向前进。
我们仅讨论那些公布了的文句，他们仅把0和1作为确切的值。我们同意这个假设，命题要么正确要么错误，那么一个复合句的确切含义主要依靠于它的复合方式和它的组成元素的确切含义。所以“愿望是马，乞丐乘”只有前后两部分都为真，才能为真。即：愿望得到马，并且乞丐去骑，这个时候我们才说，这个命题是正确的。如果每个组成元素都有确切值0，那么复合值也将有确切值0。如果你愿意的话，你可以用一个表格和连接词“与”来表示，用A和B代替组成元素，用行来表示含有确切值0和1的A和B之间的所有可能的组合方式
这是用逻辑“与”所表示的列表。你可以根据其他的连接方式作出适当的表格，如：A或B，如果A那么B，如果且仅仅如果B那么A等等（例如，“愿望是马，乞丐乘”，假定第一部分为真，第二部分为假，即：愿望为得到马，乞丐却不能骑，则此命题为假。）。
从上述四种关系中我们可以得到0、1之间有16种排列方式，并且每种排列都以不同的方式连接两部分语句。皮尔斯表示他们中的每一个都可以仅通过“非A非B”的重复叠加来获得，我们用符号“A↓B”来表示“非A非B”。例如“如果A那么B”，就可以表示为：
（（（A↓A）↓B）↓（（A↓A） ↓B））
因为‘非A非B’只有在A，B都为假时，才为真。它的逻辑表格为：
所有复合值都可以通过确认那些否定而得到！我们全部的声明都归结到被重复的谬误上，句子的逻辑平衡于否定的支点上！就好像我们已经打开了在我们思想最深处的密室里的盒子，并且发现0存在于它里面一样。早期人们可能已经看到这个下向的箭头已指向了营造天堂中的地狱的否定之精神。
皮尔斯和其后的舍菲尔所领会到的是一种极好的技巧：一种把当前产生逻辑学的两个元素缩减为一个的方法。把这作为一种深刻的洞察力吗？据我所知，与吸引人们去注意它的含义一样都没有评论它的哲学涵义（但是可以使我们通过它来扩充我们发明和发现的领域）。
它使我们这个易于接受的思维去理解这样一个纯粹技术的世界。对于维特根施泰因（Wittgenstein，1889…1951奥地利裔的英国哲学家）来说，这种归纳方法既不是魔鬼也不是一个漂亮的装饰品而是他一直寻找的解决问题的钥匙。掌握了它，他认识到建立在逻辑基础上的语言不仅仅可以说否定的东西：而且通过它带来的洞察力——看着它指向的地点——我们能够理解肯定的事情；“对于那些不可言说的，必须保持沉默。”这是他的《逻辑哲学》（Tractatus Logicophilosophicus）中的一句著名的结论，他谨小慎微的有限的句子在那个结论的地方突然停止了，随后用一张意味深长的空白页放在那里。
第四部分 有蜘蛛的浴室第37节 不可思议
语言到底在哪里终结，超越了它，我们可以发出声音甚至塑造语法上正确的句子，但那却是在胡说八道？考虑一下优生学家朱利安·赫胥黎（Julian Huxley）1937年的一个认真的声明。他在谈论那些生来有智力缺陷的人时，他说我们当然应该给他们能够得到的最好的待遇，然而假如他们从没有出生的话，这对于我们和他们都更好。对我们而言：你可能反对他的意见，但你当然知道它意味着什么（我们原本可以节省的照料、花费和苦恼）。对他们来说？如果他们没出生的话对他们会更好？我们所说的“他们”，他们如何能变得更好？努力描绘一下，看看这种情况和其的可能性。这里是居柯（Juke）先生，悲惨的活着。这里是居柯先生，如果他原本没有出生，如果他原本就不高大、英俊、机敏。萨福克里斯（Sophocles，古希腊剧作家）说：“数一数，没有人在他死之前是快乐的”，由此看来，没有人在他出生之前是快乐的。
不存在的迷惑在我们的旅途中一直顽皮的窥视着我们。现在当我们走近家时，它又重新出现了。对我们所有的观点来说，比如权威或者安塞姆，有什么东西和自身存在却又什么都不存在的集合一样奇怪？鞭打你在这个噩梦中将要做的，它的图片躲闪并变换它们的形状，从你不知道的方向回来，怪脸的表情就象是被零除，不是没有意义就是模糊不定。包围逻辑操作的同意反复和矛盾没有任何意义；但是这些操作中的东西如何能是模糊的呢？答案是任何有关不存在的声明都是真的。如果我说所有八足类动物有九个触角，这很容易被证明为假。如果我说它们