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也许你现在对埃尔格国王的表达系统没有信心——特别是当你发现也许根本没有这个国王。但是如果你认为我们匿名作者的努力是可笑的，那把你自己放在这个位置，来尝试解释由数学家唐纳德·科努斯（Donald Knuth）新近发明的符号。这个符号在处理拉姆齐理论（Ramsey Theory）中的巨大数字时是必需的。它开始很容易，3↑3表示33，也就是27。3↑↑3可以被理解为3↑（3↑3），也就是 ，，或者327，就是一个相当大的数字7625597484987。那么，3↑↑↑3就被定义为3↑↑（3↑↑3），它就是3↑↑7625597484987，继续往下写就是。
3↑（7 625 597 484 987↑7 625 597 484 987）。
3↑↑↑↑3表示3↑↑↑（3↑↑↑3）并且因为3位于↑3的左边，&……但是，在过去和将来遇到的无穷大之前，可能我们应该到此停止。
然而，可以说你掌握了如何运用位置符号记数的方法。现在，甚至更刁难的东西阻挡你的道路。这些出现时已经不是梭仑（Solon）或波利比奥斯（Polybius）的时代了，当时的情况在统治者的奇想中，差不多就象计算板上的计数筹码；计算者可以把这些计算筹码放在不同的位置来表示大小。秩序是分等级的，从乡村到宇宙；等级制度把你在世界中的位置确定下来。在等级制度中你想寻找平等那简直是寓言。那么从东方带来的这种位置符号能指向什么呢？事后我们可以自信的回答：指向变化。就象画报的空间，它已经被有层次的定制（图形的大小与重要性相一致），然后在通过一个装置从整体来看一下它是否让人满意；因此位置记数法中的零是社会和政治空间的先驱。
当时，如何读它也是个问题，最聪明的脑袋都被这个问题困惑了。甚至晚到1620年，约翰·多恩（John Donne 1572…1631英国玄学派诗人和神学家）在他的讲道坛说：“事物代表的越少，我们知道它的就越少：多么无形的，多么不可理解的一个事物，那么，它就是零！”大约二百年前另一位英国人，托马斯·幼斯克（Thomas Usk）在他的《爱的遗嘱》（Testament of Love）已经得出有点更积极的结论：“在阿拉伯数字系统中，零自身没有力量，然而它却给其他数字以力量。”
位置符号零的一种精彩的理解在十四世纪初期的科隆（Cologne）出现并短暂的闪耀光芒。那时埃克哈特（Eckhart）是德国神秘主义的创始人——一个多明我会（Dominican，多明我会，一个宗教——译者注）的修道士，激进的神秘主义鼓吹者——他曾经这么讲到：所有的创造物都是空无；一无所有将充满这个世界；上帝一定对过去所有的知识和存在撒谎，因此一定是空无，从开始，上帝的创造就确定是无私的，并且现在仍是这样——而且无私的（Abgescheidenbeit）走向零（Nibte），上帝是如此的靠近零，以至于除了上帝什么也不能接近它。这是不是在被上帝抛弃的世界中的一个坚忍抛弃的信息？除此以外：埃克哈特在思想中有一个很不同的幻想，在这个幻想中，他自认为是上帝，并且这么认为，如果任何一个人达到了真正的公正无私，那么他就将成为上帝。在陈述他最后的一个训诫的过程中，他宣布那个瞬间他发现了真理：“上帝和我是同一个人。现在我就是我，并且我既不增加也不减少任何东西，因为我是坚定的原动力，可以移动所有的物体。”当然，那正是零的含义。
即使你接受阿拉伯数字还有它们的零，与计算板相比较，当这些如此难做时，你怎么能相信你的计算呢？一旦你掌握了运算法则，加法相对容易；减法测试你的抽象能力。你是否想“用交叉”，“用折”，“用竖列”或者在对角线上，“通过百叶窗的方法”来学习乘法？无论你选择哪一个都将花费很多技巧（“许多脑力”，就象德国的计算专家亚当·雷斯（AdamRiese）16世纪初说的那样）。
如果你在德国是一个商人，并且把这个事看得很严肃，你把你的儿子送到处理这些事情比较好的意大利去学习，一个在纽伦堡（Nuremberg，德国城市名）的父亲给在威尼斯的儿子写信说，希望他能学会早起，能够经常去教堂并能够掌握算术。在计算板上除法是很困难的——事实上，正是如此困难以至于一种方法被称为“铁除法”（iron division ；divisio ferrea），因为它是“如此的困难以致硬度超过了铁”。但是用阿拉伯数字，当你用勾销的方法去除时，它令人迷惑：你的纸上盖满了一行行缩小不一的勾销掉的数字，结果看起来象正在航行的船只，导致了意大利人称这个计算技巧为“divisione per galea”，也就是“军舰除法”。
在法国用阿拉伯数字系统计算导致错误是很普遍的事情，用阿拉伯数字计算就意味着“错误计算”：一个明智的结论是这样的，当铅笔很少并且纸张更少的时候，你密密麻麻的书写你的计算过程，以至于到最后你没有地方书写你最终的精确结果。如何想象你“飞”过甚至“爬”过这样一个问题的，1489年的教科书着这么写道：
一个人带纽伦堡流通的30便士走进维也纳的一个钱币兑换所。他对钱币兑换员说：“请兑换我的30便士并给我等值的维也纳磅。”但是钱币兑换员不知道他应该给多少维也纳货币。于是他去了钱币办公室，那里的人们建议这个钱币兑换员并告诉他，“7维也纳币相当于9林茨（Linz）币，8林茨币相当于11帕绍德（Passau）币，12帕绍德相当于13维留希芬（Vilshofen）币，15维留希芬相当于10雷根斯堡（Regensburg）币，8雷根斯堡币相当于18纽马克特（Neumarkt）币，5纽马克特币相当于4纽伦堡便士。”30纽伦堡便士能兑换多少维也纳便士呢？
你可能知道结果是 （大约是13维也纳便士，剩余部分建议留作小费）。
一些教师可能没有见过这样的题。Prosdocimo de’ Beldomandi，写于大约1400年，说他在很多不同的书中发现很多不同的技巧，但是在所有这些技巧中，如果你最初算错了就必须全部重来；并且你能在哪里储存半途的结果，如何消除它们？这对他来说都太费力，太苛刻，因此他抛弃了它，在他的书中仅仅保留了对计算完全必要的一点点。
这些技术上的困难，还有把书籍用本国语书写之前，知识传播缓慢，危险的撒拉逊人的魔术增加了阿拉伯数字已经拥有的信誉。甚至当它们开始在硬币和纪念碑上出现来表示日期时，银行仍然不愿意使用它们，并且有很好的理由：零又是一个坏蛋，因为它可以被无耻的人改写称6或9，这些人还可以在它之前插入一个或两个数字。因此在佛罗伦萨市（Florence）参议会在1299年通过一项法令中宣布，当在账本上遇到钱的数量时用数字书写是不合法的：金额必须用字母书写。一本古老的威尼斯课本解释说“老数字（例如：罗马数字）单独被使用是因为它们不象新计算方法中的数字那样容易被伪造”。在帕多瓦（Padua，意大利一城市）大学文具店被要求标明书的价格“non per cifras sed par literas claros”：用清晰的字母而不是用数字。1494年，法兰克福（Frankfurt）市长命令他高明的计算师“禁止用阿拉伯数字计算”。即使是后来到1594年，在安特卫普（Antwerp）的一个教规中警告商人不要在合同或协议中使用阿拉伯数字。我们嘲笑那些不会计算的人——但是在十三世纪他们嘲笑那些会计算的人，因为它们的无用，使“阿拉伯数字”和“阿拉伯数字系统中的零”处于被嘲弄的境地：
一只带角的野兽，一只棉羊，
一个阿拉伯数字的零，
是不是牧师，在这个节日
不祝贺那圣洁的妈妈。
第三部分 费尽周折第20节 费尽周折（3）
今年，明年，有时，决不
正当零努力向西方前进时，这群蛮横的方形脑袋的猜疑将它挤到一边。一个狡猾并且更有力量的关系网很久以前就联合起来对付它，因为随着岁月的累积，知道世界什么时候结束变得更加重要。
因为在公元前一年和公元后一年之间没有零年，所以罗马风格的计算弄混了这个问题；因此千禧年的信徒不得不——象现在一样——费力的计算结束于零的年是世纪和千年的最后一年，而不是下一个千年的第一年（因此对我们来说，2001年1月1日是三千年的开始，而且这年以前的欢庆仅仅是庆祝个别节日的习俗）。尽管经历了无数的日历改革，直到1740年，当掌握巴黎天文台的第二位第四代意大利天文学家雅克·卡西尼（Jacques Cassini）出版了他校正的《天文学表格》（Tables astronomiques）时候（他也一定有把零作为坚定的动者的感觉：就象他的儿子和孙子，他出生在天文台上，在此地，他的整个家庭经历了一个多世纪来探索宇宙和观赏法国美丽的旷野），零年才踌躇地露面。
想知道世界末日什么时候到来：你需要注明相对开始的日期，并理解规定的时间跨度的范围。这就是为什么这种注释和计算的成就建立了基督教年代表，它的目的是——就象研究千年事物的精明学者理查德·兰德斯（Richard Landes）观察到的——“已经注明的是末日而不是开始”。我们已经看到了这些计算，他们的每次精确计算世界末日，都是以一次次失败告终：杜科波尔派（Dukhobors）教徒在循环再判决日的前夜焚烧了自己的房子和世间所有的货物；人们和他们的预言家黎明时在山上的牧场站立，黄昏时又失望地跋涉回家。黑尔·波普（Hale…Bopp）来了——又走了。
然而这些决定性的失望留下了不可计算的价值残余：一种改变了的时间感觉和对历史的清醒目光。
Dies irae； dies illa
Solvet saeclum in favilla —
愤怒的一天，在那天
我们要把数年的财产一起焚烧成灰烬——
如果零日安全过去，那么前时和后时就有新的意义：从零开始延伸为负数和正数，现在不再是时间的终点而是计算的支点。过去的事情要求我们更进一步的研究将来将要发生的事情，兰德斯说，这些破灭的世界末日的诺言导致了寻求“用更长的时间重建一个有希望的未来”：世界末日离我们越远，就越能给我们希望。当然，它不能太遥远而使人气馁，也不能太近而使人失望，但是应该位于适度的时间范围内，至少一代但不超过三或四代。
时间的真实终点：如圣·约翰（St John）预言的那天，在那一天，你将听到一个微弱的声音在说：“一量器的小麦值一便士，三量器的大麦值一便士，”而且天堂就会卷成一个封闭的卷轴，星星将象未熟的无花果坠落下来，四个骑士将在陆地上放纵。实际的这一天是在公元1000年，或者在1260年，1533年或1843年：相信在这一天，在我们中间和周围的魔鬼般的人会焚烧并劫掠财物，因为这里将没有明天。但是清醒的头脑知道，如果明天不是世界末日，明天能够继续到来，那么付出的代价将是巨大的。
不但�