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学并不是关于自然的一堆真理。〃（《古今数学思想》，M·克莱因著，第4卷，第280页。）
13、数学崇拜没有根据
记者：但是，人们通常仍然持有一种观点，认为数学是科学中最严密最成熟的体系。
何新：对此可以称此为〃数学崇拜〃。但是，研究过数学史的人，会知道这种崇拜是没有多少根据的。 至少近2500年来，数学是人类智力训练和精神遗产的一个有机组成部分。然而在这漫长的年代中，关于数学的本质始终众说纷纭，对数学至今并无一个公认的定义。 在古希腊，毕达哥拉斯学派和柏拉图都注意到，演绎推理所得的结果跟观察的结果或归纳推理所得的结果往往符合。他们无法用别的方法去说明这种符合，于是就认为，数学乃是对于自然界和宇宙中内在的终极、永恒的实在的研究，而并非逻辑的一个分支或科学、技术的一种工具。他们认为对数学原理的认识，必定先于任何对经验的确切解释。毕达哥拉斯有一个名言：万物皆数；还有据传为柏拉图的箴言：上帝常以几何学家自居。 流行于中世纪的经院派观点认为宇宙是〃井然有序〃而易于理解的。在文艺复兴时代，随着柏拉图观点的再度风靡，促成了下述信念的复活：数学是以某种方式独立于且先于经验的直观的知识。这种观念表现在库萨的尼古拉、开普勒和伽利略的思想中，在某种程度上也表现在达·芬奇、莱布尼兹、康德的思想中。
14、现代数学成为虚拟的逻辑系统
记者：就是说，数学运算的结果似乎是先验性的，而非经验性的。
何新：18世纪在科学和数学问题中应用了微积分所取得的辉煌的成功，使人们把注意力首先放在运算，而不放在研究数学的基础上。但到19世纪，人们力图为新的无限小分析中的有关概念寻找一个令人满意的基础。 这种努力，带来了一种批判的态度。数学的严格性被提上了日程；人们发现，欧几里得的公设并非如康德所主张的那样是绝对的综合判断，而只不过是一些假设。这种作为推理根据的前提，可以随心所欲地自由选取唯一的要求是它们彼此之间相协调哪怕它们与感觉上显而易见的事实相矛盾。 在20世纪的数理哲学中，认为数学是量的科学或者空间与数的科学的这种旧观念，在很大程度上销声匿迹了。（但在中国学术界，这种陈旧观念仍很流行。）人们意识到，朴素的空间直观会导致矛盾。
否定牛顿的绝对时空观，也就否定了康德关于时空的所谓〃内在直观公设〃。正是由于对数学公理基础无矛盾性所作的全面逻辑和哲学审视，导致了20世纪初所说〃第三次数学危机〃。罗素在出版《数学原理》第一卷时信心勃勃，而在《数学原理》的后续一版中（1937），则陷入怀疑论，认为数学是〃我们既不知道自己在讲些什么，也不知道讲得对不对的一门科学〃。 而在这种意义上，数学就成为一个虚拟的概念系统。著名数学家魏尔（Weyl）对数学的现状作了这样的描述： 〃关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。'数学化'（Mathematizing）很可能完全出自人的一种自由创造性活动，就像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性绝不容许完全的客观的有理化。'〃（②转引自《古今数学思想》第4卷第324页。这也是克莱因此书的最终结语。） 因此，到19世纪末盛行的看法是：数学里的一切公理都是任意的。公理只不过是导出结论的推理的基础。既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了。当公理和实在之间产生某种联系的时候，这种物理意义至多只能是发现（真理）的向导。即使是从物理世界抽象出来的概念也是这样。 〃到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了。
十四、关于逻辑悖论问题
1、逻辑中的悖论佯谬
记者：您在前面多次谈到了〃悖论〃这个词。请问什么是悖论？
何新：在近代科学哲学中，存在着两大佯谬。第一是前面我们曾讨论过的归纳法佯谬，是休谟所提出，普遍性与必然性不存在于感性的经验观察中，因此归纳法缺少一个客观意义的基础。第二就是关于逻辑悖论的佯谬。
记者：究竟什么是逻辑悖论？
何新：所谓悖论（Paradox），康德称作〃二律背反〃，黑格尔称作辩证矛盾。它指的是两个相反的或互相矛盾的命题，但从正面论证则其反面成立，从其反面论证则其正面成立。悖论的存在，使得思维和语言陷入自相矛盾，成为语义混乱而不知所云。 在希腊和中国先秦思想史上，正是悖论的发现，推动古典学者开始探讨形式逻辑规律以规范思维和语言。为解决悖论引起的逻辑混乱问题，亚里士多德等古典逻辑学者提出了三大思维规律（同一律/不容矛盾律/排中选择律）。事实上，不容矛盾律构成演绎推论（三段式）的公理基础。 但是，悖论问题从来没有真正得到解决。只是后来人们学会了如何通过恰当的矛盾陈述，正确地表述和理解语言的意义。 近代数学在寻求公理化基础时重新遭遇严重的逻辑矛盾，从而发生了〃第三数次学危机〃。
2、辩证逻辑可以解决悖论佯谬
记者：如果悖论问题不能得到解决，那么形式逻辑的基本原理就受到了严重挑战。你认为悖论是否可能得到解决呢？
何新：这就是我在70年代所曾致力研究的问题。逻辑是区分为类型的。在古往今来的各种逻辑类型中，有一种可以容纳悖论（即逻辑矛盾）的逻辑，这就是黑格尔的辩证逻辑。黑格尔甚至认为，必须建构一种容纳矛盾的逻辑，因为矛盾乃是宇宙理性的本质。这种矛盾的语言表述形式，就是〃辩证法〃。
记者：黑格尔的逻辑学出版在19世纪初叶，那时数学基础中的悖论问题还没有被提出。
何新：而这正是黑格尔逻辑的深刻性和超越性所在。
记者：黑格尔哲学与康德哲学的不同点是什么？
何新：黑格尔认为，客体本身的存在、演化序列本身就是一种纯粹逻辑 的序列。在时间演进的序列中，逻辑的力量实现发展，辩证矛盾则推进发展。 黑格尔试图对逻辑学提供一种新的本体论基础，它认为存在本身具有理性的结构和秩序，存在的基础是逻辑的。 黑格尔认为，逻辑不仅可以描写世界，而且可以生成世界。因此，不可直观的第四维世 界是可以被理性范畴所把握的，是可以洞察的。这种新逻辑形态就是黑格尔的〃辩证逻辑〃。然而现代西方逻辑学完全不理解以至逃避了这一最重大的逻辑命题（认识论）。 事实上，只有黑格尔的辩证逻辑，能够从认识论、本体论和逻辑基础中解决悖论问题。
3、悖论的三种类型
记者：黑格尔是如何看待悖论问题的？形式逻辑的基本规律是思维的不矛盾规律。而黑格尔则认为逻辑的基本规律是矛盾。这个问题你如何理解？
何新：我在70年代已对悖论问题进行过研究。我曾将悖论区别为三种基本的类型。即： （1）语义悖论 （2）本体悖论 （3）辩证分析悖论（何新《逻辑悖论的研究》，《人文杂志》，1982年第2期。） 关于语义悖论，包括康托、罗素所指出的那种集合论悖论：〃我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所成的类。现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素。因而必须属于M，另一方面，若N为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N。于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。〃 数理逻辑学者认为：〃这些悖论的起因，如Russell和Whitehead指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内的一类东西来定义的。这种定义也称为说不清的（impredicative），特别发生在集合论中。〃 这种悖论的一个古典形式就是〃说谎者悖论〃。
记者：什么是〃说谎者悖论〃？
何新： 所谓说谎者悖论，本来是希腊哲学中由诡辩派哲学家欧布里德提出的一个语言游戏。这个悖论的内容如下：〃试问如果一个人说'我在说谎'，那么当他讲此话时，他是否真的在说谎。〃 如果此话不可信，那么这句话的确是谎言。而陈述语的内容说：〃我在说谎〃。他就是在陈述事实，就是说事实上他并未说谎，而这一事实与其语义相矛盾。 如果此话可信，那么陈述者的确是一个说谎的人。而他说：他在说谎事实上他正在陈述的乃是事实，那么他并未说谎。这一事实又与其语义相矛盾。 所以所谓〃说谎者悖论〃，实际乃是来自陈述操作的现实与陈述意义（语义）之间的矛盾。是语言符号的〃所指〃与〃能指〃之间发生的矛盾。 有人根据罗素的语言层次论认为〃说谎者悖论混淆了这两个不同'层次'的语言，把高一层次语言中的'是假的'用低一层次语言来表达，由此产生逻辑矛盾。〃这种看法是排除不了悖论的。 实际上，黑格尔早于罗素100年就分析过〃说谎者悖论〃。他的看法是：这个悖论表明，有些事件无法用非矛盾的语言进行表述。
4、黑格尔论〃说谎者悖论〃
记者：黑格尔也研究过〃说谎者悖论〃吗？
何新：他在评论希腊哲学中的诡辩派时讨论过悖论问题。
记者：黑格尔他怎样分析这一悖论？
何新：他把诡辩学者的逻辑称作一种〃独特的辩证法〃。〃他们把辩证法发展到很高的程度。〃（《哲学史讲演录》，中译本第二卷，第115页。）〃他们的辩证法都涉及外在观念和语词中出现的矛盾，因而他们也有一部分流于玩弄语言。〃黑格尔说：〃事实上把它们抛到一边要比驳回它们容易些。〃
记者：那么在黑格尔看来，悖论既是一种诡辩，但也是一种〃辩证法〃。他所说的〃辩证法〃，看来就是你曾指出的那种〃辩论与论证的方法〃。
何新：对。黑格尔指出： 〃真正说来，它们所进行的，是把通常的语言引入迷途，使它陷入混乱，然后给它指出它是自相矛盾的。这些诡辩并没有真正的科学价值。可是，这些诡辩的任务有一部分就在于指出，当我们严格地按照通常语言所说的话来加以理解时，平常的语言是不能令人满意的。使通常的语言陷入难以回答的困境，乃是游戏、开玩笑，是愚蠢的。别人完全知道我们的意思，他在语言上用心思；这是以形式的矛盾为目的一种空洞无实际的语言游戏。理性的东西只是作为语言而存在的。 希腊人异常喜爱找出语言中和日常观念中所发生的矛盾；这是一种文化，这种文化把形式的语言当作对象，并且意识到它的不精确。〃 而〃说谎者〃就是这种诡辩的一个实例。
记者：黑格尔认为应如何解决这个悖论？
何新：黑格尔指出，对这个悖论没有简单的回答，�