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的。在计算太阳行度时，计入黄道岁差的影响，较以赤道岁差入算要科学
和合理得多，这大约便是刘焯阐明和采用黄道岁差概念的出发点。
刘焯所用的黄道岁差值为年差1
409 5 。
度，这相当于76。53年差度。与
1
46644
该值相应的赤道岁差值为83。5 年差1 度，这个数值的精度比前代各家都要
高，而且对唐代以及北宋若干历法产生很大的影响。对于其他一系列天文
数据，皇极历也各取新值，其精度也大都与前代历法持平。
关于天文表格的编制，皇极历也有所改良或创新。如对于月亮运动不
均匀改正数值表（月离表）的定量分析表明：其月亮过近地点时间的误差为
0。47 日，达到了历史上较高的精度；其月亮每日实行度的测算误差为9。4′，精度高于前代各历法（误差在10。5′至27。1′不等），以后也只有唐末
崇玄历的精度（误差为7。0′）超过了它。可见皇极历的月离表是历代最优
秀的历表之一。皇极历是我国古代现存最早的给出完整的太阳运动不均匀
改正数值表（日躔表）的历法，它很可能受到北齐张子信、刘孝孙等人有关
方法的影响。对该表的定量分析显示：二十四节气太阳实行度分与平行度
分之差的测算误差为25。2′；因太阳运动不均匀而加于平朔的日分改正值
的误差为3。4 刻，到唐一行大衍历以后的日躔表才从总体上超过这一水
平。可是，皇极历的日躔表存在三个大缺欠：一是它以二分和二至时太阳
的盈缩度相同；二是对二分前2 个节气太阳盈缩度的测算存在较大的误
差；三是对太阳中心差极值的测算也偏大。这些都极大地损害了对太阳运
动不均匀性的整体规律的描述，也降低了日躔表的整体精度。在皇极历中，
对二十四节气昼夜漏刻长度、昏旦中星度及月亮入交去黄道（即求月亮极黄
纬）等表格也作了重新测算，其精度仅保持在前代的水平上。崭新的数学方
法的发明和应用，是皇极历的又一重大特色。其新法主要有等间距二次差
内插法、等差级数法和坐标变换法三种。关于等间距二次差内插法的算式
可以概括为
t D1 ＋D2t t2
T = T0 ＋ · ＋ （D1 …D2） …2（D1 …D2）
l 2l 2l
欲求任一时日月亮的极黄纬值，上式中的T 即为该值的10 倍。t 系指
该时日与最临近的一次月亮过黄白交点时刻之差，1=7356366（“交法”），
T0 为该日的月亮极黄纬值，△1 和△2 分别为该日后相邻两日的T0 值之差。
T0（“衰积”）、△1 和△2（“去交衰”）均可由月亮入交去黄道表查得。由
上式可求任一时日太阳实行度与平行度之差T（后用T*表示），式中的t 系
指某节气初日与所求时日的间距。l 为一节气的日数，对于秋分
后到春分前的各节气， t =
16
× = 14 54 日；对于春分后到秋分前的各
10 。
11
11
1545 日。它们分别是秋分到春分，和春分到秋分的每
节气， l=
17
× = 。
一个定气日数平均值的约数，其准确值应分别为14。76 日和15。68 日。T0
指某节气太阳实行度与平行度之差。△1 和△2 分别为某节气后相邻两节气
的T0 之差。T0（“衰总”）、△1 和△2（“躔衰”）均可由日躔表查得。
由上式可求因太阳运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值T（后用T⊙
示之）。式中的t 系指某节气初日与平朔时刻的间距，l 的含义同上述，T0
为某节气因太阳运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值，△1 和△2 分别为
某节气后相邻两节气的T0 之差。T0（“迟速数”）、△1 和△2（“陟降率”）
亦可由日躔表查得。
由上式可求因月亮运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值T（后用
时刻之差，l=1 日，T0 为同该日月亮实行度与平行度之差相应的时刻值，
△1 和△2 分别为同该日后相邻两日T0 值有关的数值。T0（“■■积”）、△
1 和△2（“加减”）都可由月离表中查得。
有了以上二术，则有
这就是皇极历计算定朔的方法，是我国古代最早同时虑及日、月运动不均
匀对真正合朔时刻影响的定朔法，在我国古代历法史上占有很重要的地
位。此外，以上四处所用等间距二次差内插法，对于有关天文量计算精度
的提高，无疑起了良好的作用，因为它们能较好地反映这些天文量变化的
客观状况，所以，该法同时在数学和天文学史上都有重要的意义。它和定
朔法一起也都对后世历法产生了深远的影响。
皇极历还首创了等差级数的表述和计算方法。如在应用昼夜漏刻长度
表计算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘焯给出了二十四节气初日的初数
（L），又给出相邻两节气间每日增或减的等差数（△），如“每日增太”、“每
日增少”等等。已知该日所入节气及入该节气后的日数（t0），
t0
即可求出。t0 △（t0 =0。1 ，。，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的
夜半漏刻值（0） （K0），则
0
K = K ±
1（t L ±。
tt D）
00 0
a0
式中a 为一常数。在坐标变换、交食和五星运动计算的有关问题中，也应
用了等差级数的表述与计算法。该法与等间距二次差内插法一样，具有同
样重要的意义。
关于黄赤道差的计算法，自张衡发明并为刘洪首次引入历法后，沿用
了数百年，一直到刘焯皇极历才又提出了新的算法。刘焯以每经赤道四度
为一限，这同张衡以五度为限没有什么本质的区别，但刘焯以为每一限黄
赤道差的数值是以等差级数变化的，如“每限增一”、“每限损一”等等，
这较张衡以每一限黄赤道差为一常数有所改进。据研究，刘焯黄赤道差计
算法的误差为0。24°，与张衡法的水平相当。刘焯在坐标变换法方面更主
要的贡献是首创了黄白道差（黄道度与白道度之差）计算法，对该法的描述
方式与黄赤道差计算法相同。研究表明，该法的误差为0。13°。这些新算
法也对后世产生很大的影响。
在吸取前人特别是张子信等人的研究成果，并经长期探索以后，刘焯
还创立了一整套日月交食的推算法，其创新处有以下6 个方面：
第一，首创了月亮入交定日（P）和太阳入会定日（q）的计算法：
经研究，以该二式计算月亮、太阳与黄白交点的时距（P 和q）时，既考
虑了太阳、月亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点退行的影响，其
天文概念十分准确和清晰。
第二，关于交食食限概念的扩充和食分计算法的改进。对于月食食分
式中望差为朔望月长度与交点月长度之差的一半。去交日分即上述P 值。K
至为发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节气距夏至的节气数（0—12）；
K 分为发生在春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或秋分）的节气数（0—6），若望日在春分（或秋分）后，K分≡0。S 为去交
该式右边首项的分数部分的天文学含义是：月面直径被遮掩部分与月面直
径的比，而15 系指月面直径的总分数，这一项是继承了前代历家的传统算
法。第二项是与望日所值节气有关的食分改正项，对皇极历所给定的K至
和K分值的分析显示，它实际上已虑及了发生月食时，太阳与近地点（或远
地点）相对位置不同对月食食分的影响，这是一个极重要的发现。而第三项
则是一个错误的改正值，因为当S 大时当小，所以加这一项改正是适
此为必定发生月全食的最大限度，这也正是该式中第四项的含义。在皇极
S=14，代入该式得P=96 分=1。02°，这是可能发生月全食的最大限度，这
一概念和数值的阐明，同样具有重要的意义。此外，在该式中，刘焯还包
容了前人已经发明的可能发生月偏食和必定发生月偏食的最大限度的概念
和数值：令g■=0，K至=12，K 分=6，S=14，代入该式得P=1536 分=16。30°；令g、K至、K分、S 均为0，代入该式得P=1460 分=15。49°。上述皇
极历四种月食食限值的误差均在4°—5°间，其中后二种甚至不如前代历
法准确，这是意义深远的开拓进程中的失误。
对于日食食分（g⊙），刘焯也给出了类似的算式：
g⊙ =
望差…去交日分
×15±
M；
望差96
式中M 的大小或正负与日食发生时所值的节气以及距午正辰刻的多少有
关。我们知道：月亮视差的大小是与月亮天顶距的大小成正比的，月亮天
顶距的大小则与所当节气及距午正辰刻的多少相关。由此看来，该式第二
项应是虑及月亮视差对日食食分的影响的。同理，该式亦包含有可能发生
日偏食的最大限度、必定发生日偏食的最大限度，和可能发生日全食的最
大限度等日食食限的概念与数值。
第三，创立从定朔时刻求日食食甚时刻的方法。首先，日食食甚时刻
不等于定朔时刻这一命题本身，就是刘焯对日食深入细致的观测与研究的
成果。我们知道这二种时刻之间的差异主要与月亮视差有关，刘焯所提出
的算式也正表达了这一认识。其算式为日甚时刻=定朔时刻±N，其中N 的
含义与上述M 的含义相类似，可见他所创立的这一计算方法是合乎科学
的。第四，日月食初亏和复圆时刻计算法的发明。刘焯给出的算式是初亏
时刻=食甚时刻…H；复圆时刻=食甚时刻＋H，那么日月食的全部见食时刻=
复圆时刻…初亏时刻=2H。而
（300 …d）×1242 d
H =
300×1035 。
= （12 …
25）刻，
d 则是与日食食分大小有关的数值，刘焯是以等差级数来描述它们之间的
关系的，d 可由等差级数求和的方法求得，食分越小，d 越大。当食分=15
时，d=0，则2H=24 刻，该数值显然是偏大了，但它对后世历法却产生了不
小的影响。
第五，对于日应食不食和不应食而食术，刘焯也进行了十分认真的讨
论。他列出了9 种日应食不食和7 种日不应食而食的判据，每一种判据又
均与朔时月亮去交度分、所值节气和距午正时刻三要素相关。分析表明刘
焯所列16 种判据都定性地与月亮视差对日食影响的原理相符合，这是对张
子信当年发现的极重要的补充和发展。
第六，刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为月亮在黄道南、北二种
情况，每一种情况又分为交食发生在观测者的正南、正东、正西、东南和
西南前后等7 种不同的方向时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终了
的方位等内容。这是我国古代对交食亏起方位所作的最详尽的描述。
刘焯的这一整套交食推算法的创立，标志着我国古代的交食研究进入
了一个崭新的时代。与此具有同样划时代意义的发明，是他所创立的五星
位置计算的新方法。欲求任一时日（A）五星的黄道宿度，刘焯创立了以下5
个步骤：
（1）求出历元到A 的积日数，减去五星伏日数的一半，其差数以五星会
合周期除之，所得余数（B）是为A 与最临近的一次五星晨始见东方时刻（平
见日）间的时距。由于五星会合周期实际上是相当数量的实测五星会合时间
的平均值，故由之算得的平见日（A—B），可以认为是以五星和太阳均作匀
速运动为�