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除天文历法和数学之外，祖冲之还制造过各种奇巧的机械，同时他还
通晓音律，可以称得上是一位博才多艺的科学家。
祖冲之曾造过指南车并获得成功。在中国古代指南车的名称由来已
久，但其机制构造则未见流传。三国时代的马钧曾造指南车，至晋再次亡
失。东晋末年刘裕攻长安，得姚秦许多器物，其中也有指南车，但“机数
不精，虽曰指南，多不审正，回曲步骤，犹须人功正之”。南朝刘宋■明
年间（公元477—479 年）肃道成辅政，“使冲之追修古法。冲之改造铜机，
圆转不穷而司方如一，马钧以来未有也。”当时还有一位来自北方的工匠
名为索驭■，自称也能造指南车。肃道成“使与冲之各造，使于乐游苑共
试校”，而索驭■所造“颇有差僻，乃毁焚之”。
祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风水，施机自运，
不劳人力”，但这是一种什么机具，因缺乏资料，使人很难想象。祖冲之
“又造千里船，于新亭江试之，日行百余里”，这显然是一种快船。他又
“于乐游苑内造水碓磨，武帝（萧赜，公元483—493 年在位）亲自临视”。
祖冲之还曾制造过“欹器”。这种器具用来盛水“中则正，满则覆”，
古人常放置在身边以自警，“晋时杜预有巧思，造欹器三改不成”。南齐
永明年间（萧赜）竟陵王萧子良“好古，冲之造欹器献之”。关于音律，有
的史料记载说“冲之解锺律博塞当时独绝，莫能对者”（以上各段中引文均
见《南齐书》、《南史》中的祖冲之传）。
文献
原始文献
＇1＇（南朝）祖冲之：上大明历表、大明历、驳议，见《宋书》卷十三，
中华书局，1974。
＇2＇（梁）萧子显：南齐书·祖冲之传，中华书局，1972。
＇3＇（唐）李延寿：南史·祖冲之传，中华书局，1975。研究文献
＇4＇（清）阮元：畴人传·祖冲之，商务印书馆重印本，1955。
＇5＇周清澍：我国古代伟大的科学家——祖冲之，见李光璧、钱君晔编
《中国科学技术发明和科学技术人物论集》，三联书店，1957。
＇6＇杜石然：祖冲之，见《中国古代科学家》，科学出版社，1959。
＇7＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
祖■
孔国平
祖■字景烁，又称祖■之。南朝齐、梁间人。生卒年不详，生活
于公元5—6 世纪。数学、天文学。
祖■是祖冲之的儿子，少传家业，勤奋好学。当他专心作学问时，甚
至听不到外面的雷声。有一次，他在路上专心致志地思考问题，以至没看
见迎面而来的仆射徐勉，一头撞在徐勉身上，“勉呼乃悟”。
祖■精通天文、数学，曾修订父亲的遗作大明历。从公元504—510
年，他先后三次向梁政府建议修改历法，申明父亲的大明历能纠正何承天
元嘉历中的差错。经过实际观测验证后，政府终于在510 年采用了大明历。
祖■同他父亲一样，特别重视天文观测。他在嵩山（今河南登封）顶上
设立八尺高的铜表（扁方形铜板条），下面和一个石圭相连。石圭上开一个
小槽，槽内注入清水，用以定平，起水准器的作用。他通过观测铜表正午
的日影长短，测定纬度，进行种种天文研究。为了确定南北方位，他立一
表叫“南表”，正午在南表的日影之末再立一表，称为“中表”，只要时
间准确，二表指示的方向便是南北。夜间，他通过中表望北极星，于中表
之北再立一“北表”，使中表和北表上的相应点与北极星正好在一条直线
上。第二天中午，再根据三表的日影是否在一直线上来判断中表和北表的
方向是否正好指向南北。他经过多次观测，结果都是否定的。他发现北极
星并不在正北方，北极星与北天极（不动处）相差“一度有余”。这是一个
重要的发现，从此打破了“北极星即天球北极”的错误观点。
在数学方面，祖■的主要贡献是在前人工作的基础上，求得正确的球
体积公式并提出祖■原理。
西汉末年成书的《九章算术》中，已经解决了柱、锥、台等各种体积
的计算问题。由于球体积比较难求，尚未找到正确公式。书中所载的球体
积算法，相当于V=
32
πR3（ 为球半径），误差太大，与准确公式相比
R
大了
16
倍。为了寻找正确的球体积公式，东汉科学家张衡设想一个边长
等于球径的立方体，把球装在里面，使它们正好相切。他想：若能求出立
方体与内切球的体积之比，球体积问题便容易解决了。遗憾的是，他没有
算出正确结果。
三国时代，数学家刘徽发现了一条重要原理：对于两个等高的立体，
如果用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之
比也等于该常数。他利用这一原理（下称“刘徽原理”）证明了圆锥、圆台
等旋转体的体积公式，然后便集中力量解决球体积问题。他发现了《九章
算术》及张衡研究中的错误，也从张衡的研究方法受到启发。他打算把球
放到另一个能计算体积的立体中去，以便通过刘徽原理得到球体积公式。
他和张衡一样，作出球的外切立方体。但他没有停留在这一步，而是用两
个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿（图1）。这时球便被包含在两圆
柱的公共部分，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，给它取
名“牟合方盖”（以下简称方盖，图2）。如果用一个平行于底面的平面去
截立方体，则方盖的截面为正方形，而球截面是正方形的内切圆。刘徽知
道正方形与内切圆面积之比为4∶π，于是由刘徽原■
图1图2
理得到球体积∶方盖体积=π∶4。只要求出方盖体积，整个问题就迎
刃而解了。但刘徽始终未找到求方盖体积的途径，他最后写道：“以俟能
言者”，表达了他解决这一问题的遗愿。
祖■便是一位“能言者”。他继承了刘徽的思想，并吸取了刘徽的教
训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去方盖的部分。他利
用了图形的对称性，着重研究这部分的
18
，称为“外棋”，相应的方盖
的
8
为“内棋”（图），内棋与外棋共同构成小立方体，它是原立方
3
体的
18
（图）。
4
■
设球半径为R，于高h 处作平行于内棋底面的平面。显然，内棋截面
是一个正方形，设它的边长为a，则面积为a2。由于内、外棋截面的和为
R2，所以外棋截面为R2…a2，由勾股定理得R2…a2=h2（图3 的三角形EHO 中，
EO=R，角EHO 为直角）。这就是说外棋在高h 处的截面积恰为h2。祖■发
现：如果作一个底和高都是R 且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥（图5），
则棱锥在高h 处的截面也是h2。他研究了各体积的关系，提出一条重要原
理：“幂势既同，则积不容异。”其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”
是体积。这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若对应处的截
面积都相同，则两立体体积相等。（有些学者把“势”解释为“高”，“幂
势既同”则解释为“等高处的截面积恒相等”，亦通。但恐非作者原意，
因为在各种古代文献包括祖■的其他著述中，未曾发现把势作为“高度”
使用的例子。）这一原理被称为“祖■原理”。西方称它为“卡瓦列里原理”，
因为17 世纪的意大利数学家B。卡瓦列里（Cavalieri）重新发现了这一原
理。
根据祖■原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而棱
锥体积为
13R 3，所以外棋体积也是
13
R3 ，内棋体积为R3 …
12
R3 =
23
R3 ，
方盖体积为×23
R3 =
163
R3。祖■已经知道刘徽的“方盖与内切球体积
8
之比为4∶π”的结论，所以立即得到正确的球体积公式：
V球= π·
163
R3 ÷4 =
43
πR3
自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决，这
是我国数学史上的一件大事。应该指出的是，这一成果也有祖冲之的功劳。
他在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆（球）旧误，张衡述而弗改。。
臣昔以暇日，撰正众谬。”可见他为解决球体积问题进行了有效的工作。
祖■与他父亲祖冲之的数学著述均已失传。据《隋书·律历志》载，
祖冲之“所著之书名为《缀术》”，《旧唐书·经籍志》亦说《缀术》为
祖冲之撰。但王孝通在《缉古算经序》中，则把《缀术》说成祖■所撰。
现在已很难对该书的作者作出准确判断了。估计主要工作是祖冲之做的，
祖■进行了补充和整理。现存《九章算术·少广》李淳风等注中所引祖■
“开立圆术”，应为《缀术》的组成部分。该书曾在唐代被列为数学教科
书之一，由于内容深奥难懂，故学习年限最长。
祖■对建筑工程也有研究，因此被梁朝任命为掌管工匠和土木建筑的
材官将军。公元514 年，他奉梁武帝之命组织修筑浮山堰（今安徽凤阳），
企图堵住淮水，淹没被北魏占领的寿阳城（今山西寿阳）。他视察地形后，
认为淮河里沙土松散，不适于筑堰，但梁武帝不听。经过一年多时间，浮
山堰勉强筑成了。公元516 年秋天洪水泛滥，浮山堰崩溃，祖■因此获罪，
被捕入狱，判了徒刑。
祖■刑满释放后，到梁武帝的儿子豫章王肖综手下做事。公元525 年，
肖综叛梁降魏，祖■成了魏军的俘虏，软禁在徐州的北魏王子元延明家中。
北魏科学家信都芳了解祖■的科学水平，建议元延明对祖■以礼相待，并
借此机会向祖■学习了许多科学知识。第二年，祖■被送还南朝。由于接
连受到挫折，又到了晚年，他回南朝后便很少从事科学工作了，只是帮助
目录学家阮孝绪编写过天文和数学书的目录。
文献
原始文献
＇1＇（唐）李淳风等注：九章算术·少广，见钱宝琮校点《算经十书》，
中华书局，1963。
＇2＇（梁）沈约：宋书·卷十三·驳议，中华书局，1974。
＇3＇（唐）李延寿：南史·卷七十二·祖■之传，中华书局，1975。
＇4＇（唐）李延寿：北史·卷八十九·信都芳传，中华书局，1974。
研究文献
＇5＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社， 1964。
＇6＇李迪：祖冲之，上海人民出版社，1977。
陶弘景
曾敬民
陶弘景字通明，号华阳隐居，谥贞白先生。丹阳秣陵（今江苏南
京）人。南北朝刘宋孝建三年（公元456 年）生；梁大同二年（公元
536 年）卒。医学、药学、化学。
陶弘景出身于有名望的世族家庭。据其侄陶翊撰写的《华阳隐居先生
本起录》记载，陶弘景的祖父陶隆善骑射、好学读书、兼解药性，常以替
人治病疗伤为己务，后因功封为晋安侯。父陶贞宝，曾任南台侍御史，作
过孝昌县令，亦精通医学、深解药术，并善草隶书、博涉子史书籍，甚得
权贵赏识。母亲郝氏，精于佛法。这种好学读书、多才艺、深解药术的家
庭传统，对陶弘景的成�