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值以求得使分数值更加接近真值的方法，叫作“调日法”。宋代的学者认
为“调日法”始自南北朝时期稍早于祖冲之的何承天。“调日法”的基本
ac
分别为不足和过剩近似分数，则适当选取m， ，新
内容是：假如
b
，
dn
得出的分数
ma ＋ nc
有可能更加接近真值。例如由
157
（刘徽）和
22
mb ＋ nd 507
（祖冲之约率）即可算得
157×1 ＋ 22×9 355
=
50×1 ＋ 7×9 113
又由
3
（古率）和
22
亦可算得
3×1 ＋ 22×16
=
355
。用“调日法”算得
1 71×1＋ 7×16 113
355
的分数值，再用割圆术求得的精确数值来校验，即可断定
113
为“密
率”。
在西方，直到1573 年，德国数学家V．奥托（Otho，1550？—1605）
方才算得
355
这一数值；而在一般西方数学史著作中却常误以为这一数
113
值是荷兰工程师A．安托尼兹（Anthonisz，527—1607）得到的，因而
355 355
称
113
为安托尼兹率。日本数学史家三上义夫（1875—1950）主张将
113
这一圆周率数值称为“祖率”。
355
按《隋书·律历志》的记载，祖冲之曾用
113
这一圆周率来校算王莽
所造的量器——“律嘉量斛”。约率
22
虽仅精确至小数点后二位数字，
7
但使用起来是方便的。
关于球体体积的计算，乃是祖冲之在数学方面的又一项成就。祖冲之
在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆（球体）旧误，张衡述而弗改，。。
此则算氏之剧疵也。。臣昔以暇日，撰正众谬”，可见这也是祖冲之早年
的工作。然而在7 世纪，在唐代李淳风为《九章算术》所写的注文中，却
把它作为“祖■开立圆术”加以引述，因而也可以认为这是一项祖氏父子
共同的研究结果。在中国古代，例如在《九章算术》中，是按外切圆柱体
与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比来进行球体体积计算的。
刘徽指出了这一错误并正确地提出“牟合方盖”（垂直相交的二圆柱体的共
同部分）与其内切球体体积之比，方才等于正方形与其内切圆面积之比。但
是他却未能求出“牟合方盖”的体积。这一问题被祖氏父子解决了。祖氏
父子的方法是：
首先取一立方体（高=半径r），以左下角为心，r 为半径，分纵横二次
各截立方体为圆柱体（如图1）。如此，立方体将被分成四部分：两个圆柱
体的共同部分（即“牟合方盖”的1/8，祖氏父子称之为“内棋”，如图2），
以及其余的三部分（“外三棋”，如图3，4，5）。其次为算出“内棋”体
积，他们先算出“外三棋”体积。方法是：将内、外棋再合成一个立方，
在高为h 处作一平行于底的平面（如图6）。如设“外三棋”的横截面面积
为S，则
S=r2…（r2…h2）=h2。
再取一个高与底方每边长度均为r 的方锥，倒立之，则易算得这个■
方锥在高为h 处的横截面积亦为h2。
再次，“外三棋”和方锥在等高处的截面积总是相等，祖氏父子说“叠
棋成立积，缘幂势既同则积不容异”，这两个立体体积不容不等。于是算
得“外三棋”体积与一个方锥体体积相等，即等于1/3 立方体，从而算得
“牟合方盖”体积为2/3 立方体。
最后再应用刘徽的成果：
球体积：“牟合方盖”体积=圆面积：外切方面积从而求得球体积的正
确公式：
2
球体积=
πr2 ·
2
（2r） 3 =
4
πr3。
（2r）3 4
在这里，祖氏父子应用了“缘幂势既同则积不容异”的原理，这一原
理和意大利数学家B．卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）所提出的“卡瓦
列里公理”的意义是相同的。按道理，应该将“卡瓦列里公理”改称之为
“祖氏公理”。
在谈到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应提到那部失传已久的《缀
术》。
《隋书·律历志》在记述了祖冲之在圆周率方面的成就之后说：“（祖
冲之）。。又设开差幂、开差立，兼以正员（按：应为“负”）参之，指要精
密，算氏之最者也。所著之书称为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废
而不理。”唐代王孝通在其所著《缉古算经》的“自序”中说“祖■之《缀
术》（在古代史料中，多有将《缀术》记为祖■所撰者）时人谓之精妙，曾
不觉方邑进行之术，全错不通，刍甍、方亭之问，于理未尽”。根据这二
条资料，可知《缀术》的内容有“开差幂、开差立”、有“方邑进行之术”、
有“刍甍、方亭之问”。这些问题，据研究推断，可能是一些有关二、三
次方程的解法，“兼以正负参之”也可能是指其中的系数可正可负。假如
这种推断是对的，那么可以说这些成果成为后世宋元时期中国数学家高次
方程解法的先声。
唐显庆元年（公元656 年）国子监添设算学馆，规定《缀术》是必读书
籍之一，学习期限为四年，是时限最长的一种。《缀术》还曾流传至朝鲜
和日本，在朝鲜、日本古代教育制度、书目等资料中，都曾提到《缀术》。
《宋史·楚衍传》中说“楚衍。。于《九章》、《缉古》、《缀术》、
《海岛》诸算经尤得其妙。。。天圣（ 1023— 1031）初造新历”，可见宋
初时期《缀术》或者尚未失传。
祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在他所编制的大明历和为大
明历所写的“驳议”之中。
按祖冲之的自述，大明历“改易之意有二，设法之情有三”。所谓“改
易”，是指闰周的改革和在历法计算中考虑岁差的影响；所谓“设法”则
都是和上元积年的推算有关系。
中国古代的天文学家开始时认为：太阳在黄道上，从冬至点开始，经
过一个回归年的运行又回到原来的冬至点，即开始时认为冬至点是固定不
变的。但经过长时期的观察，逐渐认识到太阳回不到原来的冬至点，也就
是说冬至点每年都要向后（即向西）移动。据现代的观测，冬至点大约每年
沿黄道后移50。2″，换算成赤经度数则为大约78 年后移 1°（如按古
11 年后移度）。这就是岁差现象，它是由
代以365
4
度为周年，则为约77 1
太阳、月亮和其他行星对地球赤道突出部分的引力使地球自转轴产生进动
所引起的。
中国古代历法对冬至十分重视，因此对冬至点所处恒星间的位置的观
测也十分注意。入汉以后的诸家历法逐渐发现冬至点逐年的变化并载有冬
至点的位置。魏晋以后，观测日趋细密，对岁差现象的探讨也前进了一大
步。晋代天文学家虞喜“使天为天，岁为岁，乃立差以追其变，使五十年
退一度”（唐代一行《大衍历·议》），是虞喜首先正式指出岁差现象并给
出50 年1 度的岁差数据。其后姜岌、何承天虽然也都给出了各自的数值，
但首先把岁差的影响考虑到历法计算之中的，乃是祖冲之。
祖冲之给出的赤经岁差数值为45 年11 个月退行1 度。大明历中的回
归年日数为365
9589
=
14423804
，大明历中的“周天”为14424644，以
39491 39491
39491 除之再与回归年日数相比，可知祖冲之在历法计算中使用的岁差数
值为
860
度，经核算（
860
×45
11
= 0。99993 ≈ ），这与45 个
39491 39491 12
1 年11
月退行1 度极为接近。
祖冲之大明历中第二项重大改革是关于闰周的改革。早在公元前500
年左右，中国古代天文学家便采用了19年7闰（即在19年里放置7个闰月）
的闰周。这虽然可以把回归年和朔望月日数之间产生的关系调和得比较
好，但闰数仍嫌大了一些。尽管东汉末年以来的天文观测日趋精密，但天
文学家们却总是墨守着这一置闰周期，没有进行改进。第一个冲破这一陈
旧闰周的是南北朝时期北凉的赵■，他提出了600 年间置入221 个闰月的
新闰周。但南朝何承天在编制元嘉历时，却未能接受改革闰周的新思想。
而祖冲之在其所编大明历中却大胆地采用了改革的思想，提出391 年置入
144 个闰月的新闰周。直到唐代初年中国天文学家不再讨论闰周时止，祖
冲之提出的闰周，在诸家历法中要算是最好的。
祖冲之大明历所给出的回归年长度为365。24281481 日，直到宋代杨忠
辅所编统天历（回归年长度为365。2425 日）时止，在历代诸家历法中，这一
数值也是最好的。由于回归年日数和闰周数据都比较精密，故大明历朔望
月日数——29。5305915 日也是比较精密的，误差仅为0。0000056 日，每月
约长0。5 秒。直到宋代明天历、奉元历、纪元历等等历法中，才有更好的
朔望月数据出现。
大明历三项新的“设法”都和“上元积年”的计算有关。在中国古代，
天文学家为了计算上的方便，大都先推算出一个若干年前的一个理想历
元，使各种天象周期都处于初始状态。这样，历法中的其他计算均可依此
顺利算出。这个理想中的历元被称为“上元”，由“上元”到编制历法时
止的累计年数被称为“上元积年”。例如汉初时的太初历便提出以“元封
七年十一月甲子日朔旦冬至”为上元，后来的历法还提出把五星也包括进
去，即“五星联珠”（五星处在同一初始状态），“日月合璧”（日月也同在
此方位上）。据大明历正文记载，祖冲之进一步提出：历元必须是“上元之
岁，岁在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星聚于虚度之初，阴阳迟疾，
并自此始”，即要求“上元”之年必须是甲子年，此年十一月初一日亦须
是甲子日，此日夜半需恰好为合朔和冬至节气，而且需要此时的日月五星
（包括月亮又刚好处在近地点和黄白道的一个交点）都聚集在虚宿初度。
由于日月五星以及其他若干天文周期都是极复杂的小数（中国古代则
是分数），而且天文观测的精确程度又受到时代的局限，所以这种上元积年
的推算对历法的编制和对天文学发展可能弊大于利，但它却具有较大的数
学方面的意义。因为，当各种天文周期测定和算定，又经观测定出日月五
星等观测时所处位置之后，计算上元积年问题是一个求解联立一次同余式
问题。在这方面中国古代天文学家和数学家取得了较大的成就（“孙子问
题”、“大衍求一术”）。
关于冬至时刻的推算，祖冲之首创了巧妙的测量与计算方法，并取得
相当好的测算结果，这是大明历的又一项成就。
祖冲之在大明历中还给出交点月的日数27。2122304（717777/26377
日），这是中国历法史上的第一个交点月日数数据。与现代的理论数值
（27。2122152 日）相比，仅差0。0000152 日，每交点月误差为1。3 秒。大明
历给出的五星周期数据也比较好：
木星： 398。9030918 日（15753082/39491 日）
火星： 780。0307918 日（30804196/39491 日）
土星：378。0697881 日（14930354/39491 日）
金星： 583。9308703 日（23060014/39491 日）
水星： 115。8796688 日（4576204/39491 日）
除天文历法和数学之外