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基本公式是：岛高=表间×表高/相多＋表高，松高=表间×入表/相多＋入表，
谷深=矩间×上股/上下股差…勾高。刘徽设计的问题的复杂程度大大超过了
《九章算术》，有的要测望三次或四次。他说：“度高者重表，测深者累
矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所
不入。”刘徽自注已佚，他怎样证明这些公式不得而知，用出入相补原理
或比率的原理都是可能的。立体体积公式也可用出入相补原理证明。
刘徽证明堑的体积V=
1（b ＋ b ）ah 的方法是以盈补虚，将堑变成一个宽
21 2
1
b） 、长、高的长方体如图h ；4。刘徽对其他多面体体积公式的证
2
（b1 ＋ 2a
明则必须在用无穷小分割方法证明了阳马和鳖■的体积公式之后。而所谓
■验法，是刘徽以前的传统方法，不是刘徽创造的，刘徽甚至不满意这种
方法，指出了它的局限性。刘徽还用出入相补原理证明了开平方、开立方
32
程序的正确性。如开A的立方，求得初商a ，则减根方程x ＋ 3a x x =
1 1 111
A …31 的几何意义如图所示，其剩余部分A …a 31 由小立方x31
a5 、三长廉
3a x 2 、三方廉a 2x 构成其中x
11 311； 1为待求的未知数。
无穷小分割在数学证明中的应用这是刘徽最杰出的数学贡献。极限
思想的萌芽在先秦墨家、名家、道家的著作中就产生了，但主要在于说明
他们的宇宙观。千百年来，车轮等圆形器具的制造中实践着化直为曲、化
方为圆的过程，就含有极限思想。司马迁将之抽象为“破觚为圜”，以比
喻汉废秦之苛法。刘徽则在中国数学史上第一次把极限思想用于数学证
明。
割圆术——圆面积公式的证明。《九章算术》提出了圆面积公式S=
1
2
Lr，S，L， 分别为圆面积、周长及半径。刘徽用极限思想对之作了
r
证明。他从圆内接正6 边形开始割圆，依次得到正6·2A边形（n=0，1，2，。），。。
设其面积为Sn，每边长ln，周长Ln。他认为割得愈细，S…Sn愈小。“割之
又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”用现代
符号此即表示limln = 0；lim Ln = L；lim Sn = S。另一方面，圆内接正6·
n。￥ n。￥ n。￥
2n边形每边与圆周有余径rn，显然Sn＋6·2nlnrn=sn＋2（Sn＋1=sn）》S。但在
正多边形与圆周合体的情况下，“则表无余径。表无余径，则幂不外
出矣。”亦即当limln = 0 时，limrn = 0；lim ＇Sn ＋ 2（Sn ＋ 1 …Sn ）＇ = S。最
n。￥ n。￥ n。￥
后，将与圆周合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小
等腰三角形。由于以每边乘半径等于每个小三角形面积的两倍，则这无数
个小三角形面积之和应是圆半周与半径之积，正如刘徽所说：“以一面乘
半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”即
S = lim 6 ·2n lr
n。 ￥ 21
nn =
21
Lr。
图6
刘徽原理——锥体体积公式的证明。刘徽极限思想最精彩的应用当推
他关于阳马与鳖■体积公式的证明。《九章算术》给出阳马体积公式Vy
13
，鳖■体积公式Vb =
16abh，其中， ， 是宽、长、高。刘徽指h=abh ab
指出在a≠b≠h 的情况下由于“鳖■殊形，阳马异体”，用基验法“则难
为之矣”。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出一个重要原理：“邪解堑堵，
其一为阳马，一为鳖■。阳马居二，鳖■居一，不易之率也。”即对任一
堑堵，恒有V ：V b = 2：1 。显然，只要证明了这个原理，由于堑堵体积为
21
y
abh，则阳马、鳖■的体积公式是不言而喻的。这个原理称为刘徽原理。刘
■
图7 刘徽原理之证明
徽用无穷小分割证明了它。他将一个阳马与一个鳖■拼成一个堑堵，再用
三个互相垂直的平面平分其长、宽、高，如图7。则阳马分解为一小长方
体，二小堑堵和二小阳马，鳖■分解为二小堑堵和二小鳖■。阳马中二小
堑堵与鳖■中二小堑堵拼成二小长方体，与阳马中小长方体共三个全等的
小长方体。显然，阳马与鳖■在其中体积之比为2：1。二小阳马与二小鳖
■恰是二小堑堵，它们又合成第四个全等的小长方体。阳马与鳖■在其中
体积之比仍未知。总之，阳马与鳖■在原堑堵的3/4 中的体积之比为2：1，
在其1/4 中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”。
刘徽指出，若在余下的1/4 中能证明可知部分阳马与鳖■体积之比仍为2：
1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖■体积之比为2：1。为什么呢？
由于所余1/4 中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似，因此可以重复刚
才的分割，从而又证明在其中的3/4 中阳马与鳖■体积之比为2：1，而
在原堑堵的
41
·
14
中未被证明。这个过程可以无限继续下去，“半之弥
少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”没有证明
刘徽原理成立的部分为0。换言之，在整个堑堵中证明了刘徽原理。刘徽
原理是刘徽整个体积理论的核心。用无穷小分割方法解决四面体体积是现
代数学研究的课题之一，是D．希尔伯特（Hilbert）《数学问题》第三个问
题的主题。刘徽在此前1600 多年就开始考虑这个问题。
牟合方盖与截面积原理。在证明其他面积和体积时，刘徽以另一种方
式使用了无穷小分割。刘徽指出，《九章算术》的开立圆术是错误的。他
用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖，如图8。提
出“合盖者，方率也；丸居其中，即圆率也”，指出了彻底解决球体积的
正确途径。200 多年后，祖冲之父子解决了这个问题。刘徽还提出圆锥、
圆台分别与其外切方锥、方台体积之比为π：4，圆锥与以圆锥底周为底之
每边长的方锥体积之比为25：314（相当于1：4π）。刘徽说“上连无成不
方，故方锥与阳马同实”。成，训层，如图9。可见刘徽认为，两立体若
等高处的截面积成定■
图8 球、牟合方盖与立方（八分之一）图9
比，则其体积成定比。后来西方的B．卡瓦列里（Cavalieri）的不可分量原
理与之十分接近。刘徽开始把中国对截面积原理的认识提高到理性阶段，
为祖■原理的最后完成作了准备。刘徽还提出圆锥与方锥的侧面积之比为
π：4。
极限思想在近似计算中的应用。刘徽指出，圆面积公式中的周径“谓
至然之数，非周三径一之率也”，因而需要求该数即π的精确值。他用割
584
圆程序割直径为尺的圆，依次求出l ，l ，l ，l ，算出S = 313
625
2 1234 4
2 64 2 1692
寸，S5 = 314
625
寸，则S4 ＋ 2 S5 …S4） = 314
625
S
（ 寸＞ ，从而取
S=314 寸2，再利用圆面积公式反求出周长：“以半径一尺除圆幂，倍所得，
六尺二寸八分，即周数。”又“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一
百五十七，径得五十，则其相与之率也”。此即π=157/50（=3。14）。
4
2
刘徽认为此率“犹为微少”，又取S = 314
25
寸，同样求出π= 3927 /
1250，并求出l8 ，计算出S9 ，验证了这个值。这是中国第一次担出求圆
周率的正确方法，奠定了中国古代圆周率计算在世界上长期领先的基础。
据信，祖冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字推进到8 位。刘徽指
出《九章算术》弧田（弓形）术不精确。他利用割圆思想，将弧二等分，求
出小弧之弦、矢，再将小弧二等分，如此继续下去，“割之又割，使至极
细。但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。用这种方法可以将弧田面积精
确到所需要的程度。《九章算术》开方不尽时，“以面命之”，这是以被
开方数的方根定义一个数，相当于无理数。至于其近似值，刘徽之前，
有表示成
N = a ＋
2ar
＋ 1
的，为根的整数部分，为余数。刘徽认为这
ar
“虽粗相近，不可用也”。从而提出：“不以面命之，加定法如前，求其
微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥
下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”在开立方中也有类
似方法。这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相
同，其意义十分重大。计算精确的圆周率，必须求微数，它是保证中国圆
周率计算长期领先的先决条件。同时，它开十进小数之先河，对中国在世
界上最先使用小数起了促进作用。
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系刘徽的数学知识分散在《九
章算术》中，好像杂乱无章，前后失次，实际上并不然。他说：“事类相
推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”这个端是什么
呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩
度量可得而共。”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，
度量指度、量、衡，表示事物的数量关系。刘徽的话表明他认为数学方法
来源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何
与算术、代数的统一。对《九章算术》的解法进行论证是刘徽注的主题。
上文所列出的论证所使用的推理都是演绎推理，因而其论证是演绎证明。
事实上，整个刘徽注固然使用了大量类比与归纳推理，但在数学命题的论
证上主要使用了演绎推理。据分析，刘徽注中包含了三段论、关系推理、
连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽推理
的前提是由公认的事实抽象出来的原理及已经证明的公式、解法。当然，
还必须提出许多数学定义。在中国，数学定义最初出现在先秦《墨经》中。
《九章算术》却没有任何定义。刘徽继承墨家传统，提出了若干定义，如
方程。“方”的本义是并船，许慎《说文解字》：“方，并船也”，亦训
并。“程，课程也”，考核其标准。方程的本意是并而程之。细言之，是
将一组物的各种数量关系并列起来考察诸物的标准。刘徽说：“群物总杂，
各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数
程之，并列为行，故谓之方程。”显然是一个符合方程本义的发生性定义。
刘徽关于正负数的定义：“两算得失相反，要令正负以名之。”它表明，
正负是互相依存的，不再是以盈为正，以欠为负的朴素描述。根据这个定
义，方程中各行系数的正负可根据消元的方便而定：“可得使头位常相与
异名。”面积的定义：“凡广从相乘谓之幂。”由这个定义，可以计算曲
面的面积，并且可以把与面积无关的两数相乘问题化成面积问题解决。刘
徽没写出体积的定义，但遍察《九章算术》，刘徽没写注的只有53 问的术
文，其中52 问（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根
据简约的原则，不必再注。余下没