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下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正，下负，可开四数
或二数”。推而广之，他的意思相当于说：（实系数）数字方程所具有的
正根个数等于其系数符号序列的变化数或比此数少2（精确的陈述应为“少
一个偶数”）。这一认识与R·笛卡儿（Descartes）于1637 年提出的一
条关于判断方程正根个数的符号法则是不分轩轾的。除了关于方程正根个
数判定的符号法则之外，《开方说》中还有其他许多重要成果：他将正根
以外的适合方程的解称之为“无数”，指出“凡无数必两，无一无数者”；
他在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件；他引进
了负根和重根的概念；充实完善了宋元算家关于诸如倍根变换、缩根变换、
减根变换、负根变换之类的方程变形法；创造了先求出一根的首位再由变
形方程续求其余位数字乃至其余根的“代开法”。这些内容标志着他在方
程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引
人注目的理论成果。
李锐对天文历法的研究体现了强烈的数理倾向，其代表工作就是《日
法朔余强弱考》中关于古代调日法的研究。调日法是中国古代天文学家以
分数来渐近表示朔望月长度的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟罔
识古义，竟无知其说者”。对于《宋书·律历志》中“宋世何承天更以四
十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”这一
记载，李锐是元代以后第一个予以重视并给出了正确解释的学者。他指出：
分别以
26
和
9
为强、弱率，何承天将朔望月的奇零部分表示为
49 17
26×15 ＋ 9×1 399
49×15 ＋ 17×1
=
752
，分母、分子则分别称为“日法”、“朔余”。以此
为契机，李锐又对古代51 家历法所提供的数据进行考核，企图将每一历法
的日法、朔余值表示成上述强、弱二率带权加成的形式，并以此来判断其
与调日法有无关系。从现代数学的观点来看，这一设计是有问题的，因为
位于26 和9 之间的任何一个分数实际上都可以表示成它们二者的带权加成
49 17
形式，而许多历法的数据恰好满足这一条件，但这些数据很可能与调日法
无关。同时，由于精度所限和运算上的繁复，古代天文学家也不大可能全
都用这种累乘累加的方法来确定日法和朔余。李锐大约感到了后一困难，
他又创造了一种“以日法求强弱（数）”的方法，其目的仍然是把朔余与
26 9
日法的比值表示为
49
和
17
的带权加成。若以A表示日法，和分别表示xy
强、弱二数，李锐的“以日法求强、弱（数）”，相当于求解二元一次不
定方程
49x＋17y＝A。
其术文提供了一种依赖于求一术的简便算法，从而在中国数学史上第一次
沟通了不定方程和同余式组理论之间的关系。
李锐对古代天文、数学资料非常重视，“每得一书，其有历数者必广
搜博采，穷幽极微”。他对太初、三统、四分等历的上元积年数据进行核
算后得出了三者一脉相承的结论；他据宋代王■《易学》考察五代以后诸
历的岁实，解开了钱大昕关于《太乙统宗宝鉴》中数据来源的困惑；他在
《回回历元考》中正确地指出关于回历积年的不同说法系由于存在着太
阳、太阴两种纪年方式所致，这些都是有见地的结论。他在《勾股算术细
草》中利用图验法夹证明勾股定理，在《方程新术草》中解释刘徽的方程
新术，后来都被李潢采纳到其《九章算术细草图说》一书之中，成为后世
学者了解刘徽思想的钥匙。他在北京参加考试后的第二天就“与云门（指
李潢）先生书论合盖容圆”，据此可以断定李潢关于牟合方盖和祖■工作
的解说中也有李锐贡献的意见。李锐对《算经十书》和宋元数学名著的整
理也极大地激发了乾嘉时代学子们对中国传统数学的热情。
尽管在学术上取得了辉煌的成就，李锐的生活却经常处于贫困境地。
他没有固定的经济来源，主要是为人家当幕宾，以维系家庭生活和从事学
术活动的费用。他嗜书如命，但是由于自己买不起书，不得不靠借书和抄
书来获得珍贵的资料。但是他却能够安贫乐道，在逆境中顽强地坚持天文
和数学研究。他接到汪莱《衡斋算学》第五册时，正值妻亡子殇，而他本
人独客西子湖畔苏小小墓侧，其状“酸楚不可言”。关于符号法则的最初
探索就是在这样的环境下开始的。李锐虽然长年周旋于达官显贵们之间，
但他对名利并不十分介意：在阮元幕府时，“时有吴澹川刻《南野堂笔记》，
尚之长揖乞其去己名”。四方学者“凡有诘者，锐悉详告无隐”。他的每
部著作完成之后，都要先送给学术知己看，即使别人采纳了他的成果，他
也不在乎。钱大昕、张敦仁、阮元、李潢等人的著作中就都有一些是李锐
的研究心得。他热心扶植后学，总是把自己研究的最新成果教授给弟子们。
他的《勾股算术细草》最初就是为许云庵、万小廉两人写的讲义；《开方
说》则是在教授黎应南的过程中随时讲解随时修改完善的。
李锐的学术思想与乾嘉学派的宗旨密切相关。还在学徒期间，钱大昕
就告诫他：“数为六艺之一，由艺以明道，儒者之学也。”从而使他认识
到：“自世之学者卑无高论，习于数而不达于理，囿于今而不通乎古，于
是儒林之实学，遂下同于方技，虽复运算如飞，下子不误，又何足贵乎！”
（李锐，《三统术衍钤》跋）可见他早年学习历算的动机与其业师钱大昕
一样，是服从于治经明道这一“儒林之实学”的大目标的。李锐认为“历
学诚致治之要，为政之本”，在《三统术注》中，他对“伐桀”、“伐纣”、
“摄政”、“获麟”等古史或传说的年代都从历法上作了考证。在读《尚
书·召诰》时，针对江声、王鸣盛等人对郑玄注的怀疑，他“以纬候人■
数推知，上推下验，——符合”。另一方面，李锐从乾嘉学派的治学方法
中汲取了科学的、合理的成分，并把它们运用在自己所处理的天文、数学
题材上，从而取得了超越前人的成就，他在方程论和调日法方面的工作就
是最好的例子。
清代中叶，乾嘉学派提倡的“朴学”是当时的显学，活动于江浙这一
学术中心地区的李锐在当时就已享有很高的声名。钱大昕“生平未尝轻许
人，独于锐则以为胜己”。阮元称其“天禀高明，潜心经史，以唐宋人诗
文为雕虫小技不足观也”。罗士琳引当时人的说法，并称李锐、李潢为“南
李北李”，又将李锐与焦循、汪莱并称为“谈天三友”。至于此三人的得
失，罗氏认为汪莱失之于执，焦循失之于平，“唯尚之兼二子之长，不执
不平，于实事中匪特求是，尤复求精”。可以说，李锐是乾嘉时代在天文、
数学领域中影响最大的一位学者，他的研究成果在清代科学史上占有重要
的一页。
文献
原始文献
＇1＇（清）李锐：李氏算学遗书·开方说，上海醉六堂刊本，1890。
＇2＇（清）李锐：李氏算学遗书·日法朔余强弱考，上海醉六堂刊本，
1890。
＇3＇（清）阮元、李锐等：畴人传，花雨楼刊本，1882。
＇4＇（清）李锐：测圆海镜细草，《知不足斋丛书》本，1798。
＇5＇（清）李锐：观妙居日记，原稿本，北京图书馆藏。
＇6＇（清）阮元：李尚之传，研经室二集·卷四，文选楼刊本，道光年
间。
研究文献
＇7＇（清）张星鉴：李尚之先生传，仰萧楼文集，1880。
＇8＇（清）罗士琳：李锐，见《畴人传续》卷五十，上海玑衡堂石印本，
1896。
＇9＇郭世荣：李锐观妙居日记研究，文献，1986，2，第248—263 页。
＇10＇严敦杰：李尚之年谱，见梅荣照主编《明清数学史论文集》，江
苏教育出版社，1990。
＇11＇李继闵：关于调日法的数学原理，西北大学学报（自然科学版），
1985，12，第5—21 页。
＇12＇刘钝：李锐、顾观光调日法工作述评，自然科学史研究， 6（1987），。。
2，第147—156 页。
＇13＇李继闵：再评清代学者的调日法研究，自然科学史研究，7（1988），。。
4，第335—345 页。
＇14＇刘钝：李锐与笛卡儿符号法则，自然科学史研究，8（1989），2，
第127—137 页。
包世臣
徐旺生
包世臣又名世绳，字慎伯，号倦翁，又号小倦游阁外史。安徽泾县
人。清乾隆四十年（1775 年）生；咸丰五年（1855 年）卒。农学、农业经
济学。
包世臣的家乡安徽泾县是一个贫瘠的山区，家里十分清贫。幼年时，
他一面跟随父亲读书，为“八比六韵”，一面种菜，了解农事。尽管十分
清苦，他却很喜欢这种耕读生活。当时，中国封建社会已日见衰败之象，
加之帝国主义的入侵和封建官僚的腐败，对他的震动极大。包世臣十二三
岁就慨然有志为社会做些有益的事情，即使不扬名也毫不在意。18 岁离家
做塾师，其间读到明末清初倡导“经世致用”的大学者顾炎武的《日知录》
的一部分，十分仰慕顾炎武的为人，顾的经世思想和他平时所思所想极为
契合，因此，更坚定了他为天下国家谋利的决心。他的一生，便循着这条
“经世致用”的道路前进。19 岁游芜湖，受知于中江讲院程世谆，程非常
赏识他的才能，荐于徽宁道宋榕，时值天久旱不雨，宋榕有意要见识一下
包世臣的才学与志向，命其作诛旱魃文。由于包世臣平时念念不忘生民之
疾苦，下笔立就，洋洋万言，博得宋榕的激赏，一时传为佳话。 22—25
岁负笈出游，入湖北、湖南、四川、浙江等地，发现当时地方官擅漕利，
极为忧虑。26 岁避暑浮玉山时曾出入苏州，多次指陈漕运利弊。27 岁撰写
成一部简明扼要的农书《郡县农政》。28 岁作长文《海运南漕议》，这一
年读完顾炎武《日知录》，更加钦佩顾炎武，并谓千百年来，学者当首推
顾炎武。34 岁中举人。此后几十年间主要游幕于江南一带，多次上书地方
行政长官，指陈时弊，提出改革措施。48 岁游幕于直隶承宣使署，对辖区
水利十分关注，撰成《记直隶水道》一文。61 岁以大挑一等知县任分江西，
4 年后任新喻县令，政绩斐然，但因锋芒太露，得罪权贵，一年后被排挤
去官。晚年寓居南京，以卖文鬻字度日。
在长期坎坷的生活经历中，他曾以主要精力致力于研究农业技术和农
业经济问题。生平著述很多，主要有《郡县农政》，是一位颇有远见的农
学家。下面就从农业技术和农业经济两个方面加以介绍。
1．撰写《郡县农政》
青年时代的包世臣，对种菜有浓厚的兴趣，常常把古书中的种菜方法，
亲自运用到实践之中，看看哪些是对的，哪些是错的，进行比较鉴别，从
中积累了相当丰富的农事经验，为日后的《郡县农政》的撰写打下了深厚
的基础。
青年以后，包世臣主要游幕于江南一带。他极为重视农业技术的运用，
认为