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下，提出他的新数据的，所以这不但具有提高准确度的科学意义，而且还
含有突破传统观念的束缚，打破僵局，为后世研究的进展开拓道路的历史
意义。
月亮的运动有迟有疾，月亮的近地点在不断向前移动，这两个重要的
天文现象在东汉早期就引起了人们的热烈讨论。对此，刘洪在乾象历中作
了十分出色的总结，给出了独特的定量描述的方法。他由测算得知，月亮
每经一个近点月（月亮中心连续两次经过近地点的时间间隔），近地点总
向前推进1825
7
分（≈3。1°，称“过周分”），该值较东汉早期的李
47
梵、苏统所得结果要准确得多。在此基础上，刘洪进一步建立了计算近点
月长度的公式，并明确给出了具体的数值：已知1 周天为215130 分，加上
1825
7
分，即为经一近点月后近地点所在位置与这一近点月前近地点位
47
置之间相距的分值，再除以月亮每日的平均行度分7874 分，可得1 近点月
长度为27
3303
日，其误差为104秒。中国古代的近点月概念和它的长度
5969
的计算方法从此得以确立，这是刘洪关于月亮运动研究的一大贡献。
刘洪还确立了中国古代计算月亮运动不均匀性改正值的传统方法。刘
洪每日昏旦观测月亮相对于恒星背景的位置，在坚持长期观测取得大量第
一手资料之后，他进而推算出月亮从近地点开始在一个近点月内每日实际
行度值。由此，刘洪给出了月亮每日实行度、相邻两日月亮实行度之差、
每日月亮实行度与平行度之差和该差数的累积值等的数据表格，这是中国
古代第一份月亮运动不均匀性改正数值表（月离表），欲求任一时刻月亮相
对于平均运动的改正值，可依此表用一次差内插法加以计算。这是一种独
特的月亮运动不均匀性改正的定量表述法和计算法，后世莫不遵从之。在
乾象历中，该法仅用于交食问题的计算，而实际上该法已经解决了后世历
法定朔计算的关键问题之一。对刘洪月离表的初步研究表明，刘洪所测每
日月亮实行度的误差为11。7′，月亮过近地点时刻的误差为0。18 日，这
两者的精度在中国古代都属上乘，只有元代授时历（1281 年）的精度稍高于
它。这就是说，刘洪不但是这一新颖方法的首创者，还是对此作了高水准
的定量描述的代表人物，这是特别令人赞叹的。
刘洪的贡献还在于，他确立了黄白交点退行的新概念。他大约是从食
年长度小于回归年长度这一人们早已熟知的事实出发，经抽象的思维而推
1488
演出这一概念的。刘洪明确给出黄白交点每经日退行
47
分（≈0。054
1 °，
称“退分”）的具体数值。已知回归年长度（A）和食年长度（B），以
A …B
及度= 589 分，那么“退分”应等于
B
×589，将有关数值代入计算
1
1488
，正得
47
分。可见，刘洪当年的思路和退分值的计算法正是如此。
可惜，刘洪并没有给出交点月长度的明确概念和具体数值，但他实际上已
经为此准备了充分和必要的条件，并为后世的发展奠下了牢固的基石。当
然，仅就黄白交点退行概念的确立和已经相当准确的退行值的确定而言，
是刘洪在月亮运动研究方面取得的又一重大进展。
刘洪对月亮运动研究的另一重大成就是：关于月亮运行轨道——白道
概念的建立，它标志着自战国时期以来对月亮运动轨迹的含混不清的定性
描述局面的结束。在乾象历中，刘洪明确给出黄白交角为六度一分（≈6°），必须指出的是，该值是沿赤经圈量度的极黄纬值，与现代所说的沿黄
经圈量度的黄纬值小有不同，该值与理论极黄纬值之差为0。62°。刘洪还
给出了月亮从黄白交点出发，每经1 日月亮距黄道南或北的极黄纬度值（称
“兼数”）表格，其中“兼数”的极大值也就是黄白交角的度值，它们是刘
洪经长期的观测与计算而得的。欲求任一时刻的月亮极黄纬（M），可由该表
格依一次差内插法推算。这样，刘洪便较好地解决了月亮沿白道运动的一
个坐标量的计算问题。研究表明，依刘洪的这一方法所推算的月亮极黄纬
值的误差为0。44°。前已述及，刘洪和蔡邕已经解决了计算任一时刻太阳
距天球赤极的度距（N）的课题，于是，刘洪也就给出了月亮距赤极的度距（P）
的计算法：P=N±M。刘洪关于白道的概念、黄白交角值的测定、月亮极黄
纬数值表，以及M，P 的计算方法，从表述的形式到内涵都对后世历法产生
了深远的影响。
其实，以上所述各项创新又直接或间接地与关于交食的研究有关，应
该说提高交食预报的精确度和扩展交食预报的内容，是刘洪天文历法工作
的核心部分。在乾象历中，还记载了刘洪对于交食研究的其他重要成果。
关于交食周期的探索，在刘洪时代也是一个热门课题，有不少人提出
了各自的新数据。刘洪一方面积极参与或主持关于交食周期的热烈争论，
一方面自己也进行缜密的思考和深入的研究。在乾象历中，他提出了11045
个朔望月正好同941 个食年相当的新交食周期值，由此推得1 食年长度等
于346。6151 日，误差为370 余秒。这一成果所达到的精度水平不但大大超
过他的前人，而且也使他的同代人的同类工作大为逊色。此外，在乾象历
中，刘洪还正确地建立了在一个交食周期内如下三个天文量之间存在的数
量关系：交点月个数=朔望月个数＋食年个数，这说明刘洪对这些天文量的
关系有极明晰、透彻的认识。
在刘洪以前，人们已经知道只有在朔（或望）时，以及太阳和月亮正处
在黄白交点附近的特定条件下，才可能发生交食现象，但还没有人对“附
近”这一关键词作定量化的说明。刘洪则最先对此作了明确的阐述：在朔（或
望）时，只有当太阳与黄白交点的度距小于14°33′时，才可能发生交食
现象。也就是说，刘洪明确规定，当朔（或望）时，以太阳离开黄白交点前
或后14°33′作为判别是否可能发生交食现象的临界值，亦即食限值。现
代关于食限的规定是：日食，18°31′以上必无食；月食，12°51′以上
必无食。由此看来，刘洪所取食限值没有把日食限和月食限区别开来是不
妥当的。不过，如果把刘洪所取食限值视作日、月食限的折中值，其准确
度还是不低的。无论如何，刘洪毕竟提出了一个崭新的、又是十分重要的
研究课题，使判别交食是否发生的定量化研究迈出了可贵的一步。
原先人们对于交食的预报仅限于交食发生的时间一项，只要能预知某
日将发生交食现象，便得到满足，但随着刘洪乾象历的问世，情况发生了
很大的变化。对公元221—223 年的5 次日、月食食时的实测结果，同依乾
象历推算得的相应食时的比较表明，乾象历食时预报的误差为1。5 时辰，
这是由于刘洪提高了所取朔望月、回归年、交食周期等有关数据的精度，
特别是近点月长度的厘定、月亮运动不均匀性改正计算方法的发明和应
用，这些都必然导致了食时预报精度的大幅度提高。
刘洪自然十分清醒地了解他的乾象历对食时预报所能达到的精度水
平，对此他是不满意的。大约在乾象历完成以后，他仍继续进行更深入的
研究，力图进一步完善食时预报的方法，以进一步提高精度。刘洪依乾象
历对一批交食食时的预推和实测记录之间的时间差作了认真的分析，他发
现该时间差的正负、大小，与交食所发生的月份有较稳定的关系，并归纳
出一年中各个不同月份应加（或减）的各不相同的时间修正值，此即所谓“消
息术”：在依乾象历推算得的食时的基础上，加（或减）该修正值，如规定
当交食发生在十一月份时，应加一辰，发生在七月份时需减一辰，等等，
便可得到更准确的食时。依“消息术”计算，上述公元221—223 年的5
次日、月食食时的误差为0。6 时辰，其精度较乾象历又有明显的提高。刘
洪的这一发现和相应方法，对于交食研究而言，具有毋庸置疑的重要意义，
可是令人惋惜的是，刘洪也许来不及对他的发现和所用方法的深层含义作
更多的思考和探究。其实，更准确一些说，刘洪应是发现了上述时间差的
正负、大小，与交食所发生的节气存在稳定的关系，而节气是太阳处于其
运行轨道上某一特定位置的标志，所以，产生上述时间差的主要原因，应
是太阳运动有迟有疾，也就是太阳运动的不均匀性。此外，我们知道：在
十一月份时，太阳视运动速度快，真切的食时应推迟一段时间；七月份时，
太阳视运动速度慢，真切的食时应超前一段时间，再对照上述“消息术”
的规定，应该说二者在总体上是相吻合的。这些情况都说明，刘洪的上述
发现和相应方法，实质上是大体正确地反映了太阳运动不均匀性对食时推
算的影响，刘洪实际上已经叩击了太阳运动不均匀性这一重大发现的门
扉，可是他并不自觉，未能迈出那关键的一步，而把这一重大天文现象的
发现权留给了在他以后300 余年的天文学家张子信。
对交食食分大小和交食亏起方位的预报，在刘洪以前未曾有人涉及
过。在乾象历中，也不见关于交食食分和亏起方位的明确计算法的记述，
而有关的明确记载首见于杨伟的景初历（公元237 年）中，于是史家多把其
发明权归于杨伟。可是，前已述及，在公元178 年，刘洪就曾成功地预报
过一次日食的食分（“三分侵二”）和亏起方位（“食从下上”），徐岳所说
殆非虚言，所以自然的推论是：刘洪应当早就有了计算交食食分和亏起方
位的方法。再仔细考察乾象历可以发现，其术文中关于交食食限的规定，
关于月亮距黄白交点前后度值的计算法，关于月亮极黄纬的计算法，关于
太阳位置的计算法，等等，实际上已经为交食食分和亏起方位的计算准备
了相当充分的条件。若再兼及刘洪与杨伟之间的师生关系，可以认为交食
预报的这二个要素的计算法的真正发明者应是刘洪，而杨伟则是对此作出
明确表述并加以发展的后继者，两人都做出了各自的贡献。
对于五星运动的研究，刘洪也取得了一些进展。如关于五星会合周期
的测算，东汉四分历和乾象历的结果分别为：木星，398。846 日和398。880
日（误差0。038 日和0。004 日）；土星，378。059 日和378。080 日（误差0。033
日和0。012 日）；金星，584。024 日和584。021 日（误差0。102 日和0。099
日）；水星，115。881 日和115。883 日（误差0。003 日和0。005 日）；火星，
779。532 日和779。485 日（误差0。405 日和0。452 日）。其中木、土二星的
会合周期以乾象历为优，金、水二星两历法旗鼓相当，火星则以东汉四分
历为胜。而从五星会合周期的总体水平看，乾象历要稍高于东汉四分历。
徐岳曾对乾象历和韩翊黄初历（公元220 年）的五星法进行过比较研究，他
发现分别依二法所推得的公元221—222 年间14 次行星见、伏时间与实测
时间或