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是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰。
朱世杰的数学著作，如前所述，有《算学启蒙》、《四元玉鉴》二种，
下面略加评介。
1。《算学启蒙》
《算学启蒙》全书共3 卷，分为20 门，收入了259 个数学问题。全书
由浅入深，从整数的四则运算直至开高次方、天元术等，包括了当时已有
的数学各方面内容，形成了一个较完备的体系，可用作教材，它确实是一
部较好的启蒙数学书。
在全书之首，朱世杰首先给出了18 条常用的数学歌诀和各种常用的数
学常数。其中包括：乘法九九歌诀、除法九归歌诀（与后来的珠算归除口
诀完全相同）、斤两化零歌诀（“一退六二五”之类）、筹算记数法则、
大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等
等。值得指出的是，朱世杰在这里，也是在中国数学史上首次记述了正负
数的乘除运算法则。朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等，作为“总括”
而列在全书之首，这种写作的方式，在中国古算书中并不多见。
《算学启蒙》正文分上、中、下三卷。
卷上：共分为8 门，收有数学问题113 个，其内容为：乘数为一位数
的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多
位除数的除法、各种比例问题（包括计算利息、税收等等）。
其中“库司解税门”第7 问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，
同门第10、11 两问中均载有“两务税”等，都是当时实际施行的税制。朱
世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，
可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际。因此，书中提到的物价（包
括地价）、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的。
卷中：共7 门，71 问。内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、
复杂的比例计算等等。
卷下：共5 门，75 问。内容包括各种分数计算、垛积问题、盈不足算
法、一次方程解法、天元术等等。
这样，《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手，一直讲述到当时数
学的重要成就——天元术（高次方程的数值解法），为阅读《四元玉鉴》
作了必要的准备，给出了各种预备知识。清代罗士琳说《算学启蒙》“似
浅实深”，又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”，这些话
都是不错的。
《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本。在朝鲜的李朝时期，
《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕（算官）
的基本书籍。在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》，
与此书一起，同时也藏有一部宣德八年（即李朝世宗十五年，1433）朝鲜
庆州府刻版的《杨辉算法》。从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，
从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433 年朝鲜庆州府刻本。这可能要算
是当今世界上最早的传世刻本。在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当
时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料。
《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个
寺院中发现了这部书，之后他的学生土师道云进行了翻刻（日本万治元年，
1658，京都）。宽文12 年（1672）又在江户（今东京）出版了星野实宣注
解的《新编算学启蒙注解》3 卷，元禄三年（1690）还出版了著名的和算
家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7 卷。《算学启蒙》对日本和算
的发展有较大的影响。
《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国
内却失传了。清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》
尚无着落。后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺
治十七年（1660）朝鲜全州府尹金抬振所刻的翻刻本，1839 年在扬州重新
刊印出版。这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本。清代对《算学
启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》（1884）和徐凤诰所著《算
学启蒙通释》（1887）。
2。《四元玉鉴》
与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年
研究成果的一部力著。全书共分3 卷，24 门，288 问。书中所有问题都与
求解方程或求解方程组有关，其中
四元的问题（需设立四个未知数者）有7 问（“四象朝元”6 问，“假
令四草”1 问）；
三元者13 问（“三才变通”11 问，“或问歌彖”和“假令四草”各1
问）；
二元者36 问（“两仪合辙”12 问，“左右逢元”21 问，“或问歌彖”
2 问，“假令四草”1 问）；
一元者232 问（其余各问皆为一元）。
可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也
是全书的主要成就。
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问
题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。
《四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折。这部
1303 年初版的著作，在15 和16 两个世纪都还可以找到它流传的线索。吴
敬所著《九章算法比类大全》（1450）中的一些算题，和《四元玉鉴》中
的算题完全相同或部分相同。顾应祥在其所著《孤矢算术》序言（1552）
中写道：“孤矢一术，古今算法载着绝少，。。《四元玉鉴》所载数条。”
周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的
各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”
列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾周二人都曾读到过《四元玉鉴》。清
初黄虞稷（1618—1683）《千顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”。卷
数不符。梅■成《赤水遗珍》（1761）中曾引用过《四元玉鉴》中的两个
题目，可见清初时此书尚未失传。
乾隆三十七年（1772）开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数
学典籍，但朱世杰的著作并未被收入。阮元、李锐等人编纂《畴人传》时
（1799）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书，
呈入《四库全书》，并把抄本交李锐核算（未校完），后由何元锡按此抄
本刻印。这是1303 年《四元玉鉴》初版以来的第一个重刻本。《四元玉鉴》
被重新“发现”之后，引起了当时许多学者的注意，如李锐（1768—1817）、
沈钦裴（1829 年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士琳
（1789—1853）、戴煦（1805—1860）等人，都进行过研究。其中，以沈
钦裴和罗士琳二人的工作最为突出。
1839 年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一
书，影响广泛。罗氏对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题都作了
细草。但是他对此书关键问题（四元消法和级数求和）的理解，尚有需进
一步研究者。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究，
每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰
原意。沈氏《细草》仅有两种抄本传世（其中一种是全本），现均收藏于
北京图书馆。
清代数学家李善兰曾著有《四元解》（1845），但此书是作者以已意
解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大。其后陈棠著《四元消法简易
草》（1899），卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元
术是有帮助的。
日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》（Thedevelopment of mathematics in China and Japan，1913）一书中将《四
元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹（E。L。Konantz）和赫师慎（L。Van Heé）。。
分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。1977 年华裔新
西兰人谢元祚（J。Hoe）将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元
玉鉴》的论文。
朱世杰的数学成就可简述如下：
1。四元术
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。天元术是一元高次方程列
方程的方法。天元术开头处总要有“立天元一为××”之类的话，这相当
于现代初等代数学中的“设未知数x 为××”。四元术是多元高次方程列
方程和解方程的方法，未知数最多时可至四个。四元术开头处总要有“立
天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即相当于
现代的“设x，y，z，u 为××，○○，△△，**”。天元术是用一个竖列
的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推
广。按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气
居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，
进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项（元气居中），
常数项下依次列入x 各次幂的系数，左边列y，y2，y3，。各项系数，右边
为z，z2，z3，。各项系数，上边为u，u2，u3，。各项系数，而把xy，yz，
zu，。，x2y，y2z，z2u，。各项系数依次置入相应位置中（如图1）。例
如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列筹式表示（如图2）。而（x＋y＋z＋u）
2=A，即可以图3 所示之筹式表示之，即将
y4u4 y3u3 y2u4 yu4 u4 zu4 z2u4 z3u4 z4u4
y4u3 y3u3 y2u3 yu3 u3 zu3 z2u3 z3u3 z4u3
y4u2 y3u2 y2u2 yu2 u2 zu2 z2u2 z3u2 z4u2
y4u y3u y2u yu u zu z2u z3u z4u
y4 y3 y2 y 无z z2 z3 z4
xy4 xy3 xy2 xy x xz xz2 xz3 xz4
x2y4 x2y3 x2y2 x2y x2 x2z x2z2 x2z3 x2z4
x3y4 x3y3 x3y2 x3y x3 x3z x3z2 x3z3 x3z4
x4y4 x4y3 x4y2 x4y x4 x4z x4z2 x4z3 x4z
图 1
（X＋Y＋Z＋U）2=X2＋Y2＋Z2＋U2＋2XY＋2XZ＋2XU＋2YZ＋2YU＋2ZU
中的2xy，2yz。等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如
2xu，2yz 的系数记入夹缝处，以示区别。图3 即是《四元玉鉴》书首给出
的“四元自乘演段之图”（为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替
了原图中的算筹）。如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表
示一个方程。
四元式的四则运算如下进行。
（1）加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置
上的两个系数相加、减即可。
（2）乘：
1）以未知数的整次幂乘另一四元式，如以x，x2，x3，。乘四元式，
则等于以该项系数乘整个四元式各项再将整个四元式下降，以x 乘则下降
一格，x2乘则下降二格。以y 的各次幂乘则向左移，以z 乘则右移，以u
乘则上升。
2）二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加。
（3）除（仅限于用未知数的整次幂来除）：等于以该项系数除四元式
各项系数之后，整个四元式再上、下、左、右移动。上述四则运算也就是
莫若《四元玉鉴�