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π值，认为355 最为精密。接着他由直径为千寸的圆内接正方形算起，利
113
用勾股定理，依次算出圆内接正8、16、32。。16384 边形的边长，而圆内
接正16384 边形的周长“三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸
之围也”。“以一百一十三乘之，果得三百五十五尺”，从而验证了
π =
355 的精确性。关于这一算法的原理，赵友钦说：“围自四角之方增
113
为八角曲圆为第一次，若第二次则求为曲十六，若第三次则求为曲三十二，
若第四次则求为曲六十四。加一次，则曲必倍。至十二次则为曲一万六千
三百八十四。其初之小方，渐加渐展，渐满渐实。角数愈多而其为方者不
复为方而为圆矣。故自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密，若节
节求之，虽至千万次，其数终不穷。”这是刘徽之后中国数学家关于极限
思想的又一个较完整的文字表述。
《革象新书》中最为精彩的一节是关于光学实验的“小罅光景”。赵
友钦首先通过观察日光通过壁间小孔所成的象，指出其大小及形状并不依
小孔的大小（在一定程度内）及形状而变，只是其浓淡程度（即照度）不
同而已；他也指出随着象屏的移近（远），象逐渐变小（大）变浓（淡）；
同时他还观察到日食时通过壁间小孔而成的象与食分保持一致。然后，他
提出了一个利用楼房和人工光源来模拟自然景观的大型实验，对光的直线
传播、小孔成象、照度与光强及距离的关系等问题进行了周密而系统的研
究。他的实验步骤如下：在一所空楼内的地面上挖两个直径为4 尺多的圆
井，左边的井深8 尺，右边的并深4 尺，另外备一4 尺高的桌子置于左边
井中。再取两块直径4 尺的圆板，其上各自密布蜡烛千余支，点燃后作为
光源置于右井井底和左井桌面上。又在井口各置一圆盖，左盖中心开一一
寸见方的小孔，右盖中心开一半寸见方的小孔。“于是观其楼板之下有二
圆景，周径所较甚不多，却有一浓一淡之殊”，即说明光源、小孔及象屏
距离固定时，照度与孔径有关；至于象的形状，赵友钦解释道：“烛在阱
心者，方景直射在楼板之中。烛在南边者，方景斜射在楼板之北。烛在北
边者，方景斜射在楼板之南。至若东西亦然。其四旁之景斜射而不直者，
缘四旁直上之光障碍而不得出，从旁达中之光，惟有斜穿出窍而已。阱内
既已斜穿，窍外止得偏射，偏中之景干数交错。周遍叠砌，则总成一景而
圆。”这里明确地表达了光线直线传播及小孔成倒象的见解。
随后他熄灭右井中东半面的蜡烛，此时在右边的楼板上看到一个缺少
西半部的半圆形状的影象。他又灭去左井中靠外布列的大部分蜡烛，只留
下中心部分稀疏布列的二三十支烛光，此时在左边的楼板上可看到一个非
常淡的圆象，但细看则“各自点点不相粘附”。然后他仅留下一支点燃的
蜡烛，楼板上则“只有一景而方”。这一组实验模拟了“小景随日月亏食”
和“大景随空罅之象”的现象，也隐含着照度与光源强度的关系。
赵友钦又将两片大板悬挂在楼板之下作为象屏，也就是通过改变象距
来研究象的变化。他发现，随着象距的减小，象变小而加浓。对此他的解
释是：“烛光斜射愈远，则所至愈偏，则距中之数愈多。围旁皆斜射，所
以愈偏则周径愈广”；“景之周径虽广，烛之光焰不增，如是则千景展开
而重叠者薄，所以愈广则愈淡，亦如水多则味减也”。前一句仍然基于光
的直线传播这一事实，后一句则隐含着照度与象距之间的关系。
接着他又撤掉两片悬板并取出左井中的桌子，将点燃的蜡烛置于8 尺
深的井底，同时也点燃右井4 尺深底部的蜡烛。这时候楼板上左边的象较
右边的象为小，至于浓淡程度则无明显差异。对此他解释道：“窍与烛相
远，则斜射之光敛而稍直。光皆敛直，则景不得不狭；景狭则色当浓，烛
远则光必薄，是以难于加浓也。”也就是说随着物距变大（小），象变小
（大），照度则不好判定。
综合以上几个步骤，赵友钦总结道：“景之远近在窍外，烛之远近在
窍内。凡景近窍者狭，景远窍者广。烛远窍者景亦狭，烛近窍者景亦广。
景广则淡，景狭则浓。烛虽近而光衰者，景亦淡；烛虽远而光盛者，景亦
浓。由是察之，烛也、光也、窍也、景也，四者消长胜负皆所当论者也。”
这就是他所得到的物距、象距、光源强度和孔径与象的大小浓淡的制约关
系。通过实验，赵友钦也对大孔成象作了观察和研究，提出了“大景随空
之象”的正确结论。
赵友钦是中国古代一位颇有特色的科学家，他既重视理论研究，又重
视实验方法。他“著《革象新书》发明授时历之蕴”，书中既有严格的数
学论证，又有生动形象的类比说明。例如他用一个黑漆球悬于檐下，从不
同的角度去看它得到不同的视象，以此来说明“月体半明”即月相的成因，
其方法简单易行，其文字通俗易懂。他的光学实验构思慎密，设计精巧，
在整个中世纪科学史上亦属罕见，其方法论上的意义更应引起研究者的充
分重视。
文献
原始文献
［1］（元）赵友钦：革象新书，文渊阁《四库全书》本，台湾商务印
书馆影印，1986。［2］（元）赵友钦著、王■删定：重修革象新书，文渊
阁《四库全书》本，台湾商务印书馆影印，1986。
研究文献
［3］（清）阮元等：畴人传·卷二十八，商务印书馆重印本，1955。
［4］柯劭■等：新元史·卷二百四十一，上海开明书店影印，1935。［5］
钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
［6］薄树人：中国古代的恒星观察，见《科学史集刊》第3 集，科学
出版社，1960。［7］银河：我国十四世纪科学家赵友钦的光学实验，物理
通报，1956，4，第201—204 页。
［8］王锦光：赵友钦及其光学研究，见《科技史文集》第12 辑，上
海科学技术出版社，1984。
朱世杰
杜石然
朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。生卒年不详，生活于13—14
世纪。数学。
关于朱世杰的生平，流传下来的资料甚少，仅能从赵城、莫若、祖颐
等人为他的著作《算学启蒙》和《四元玉鉴》所写的序言中找到一些线索。
这些序言均称“燕山松庭朱君”、“燕山朱汉卿先生”。在《四元玉鉴》
每卷之首也均署名为“寓燕松庭朱世杰汉卿编述”，可见他的籍贯当在现
在的北京或其附近。莫若序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二
十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学，为
书三卷。。名曰《四元玉鉴》”，祖颐后序中亦有：“汉卿，名世杰，松
庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。。。”这两篇序均
写于元大德七年（1303），以莫若序中所说的“以数学名家周游湖海二十
余年矣”来推算，朱世杰从事数学教学和数学研究的年代当在 13 世纪末
和 14 世纪初。
1234 年蒙古联宋灭金之后，又经过40 余年，至1276 年才攻占了南宋
的都城临安，1279 年南宋灭亡。
朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古军灭金之后。但早在灭金之前，
蒙古军队便已攻占了金的中都（今北京，是1215 年攻占的）。元世祖忽必
烈继位之后，为便于对中原地区的攻略，便迁都于此地，改称燕京，后又
改称为大都。到13 世纪60 年代，燕京不只是重要的政治中心，同时也是
重要的文化中心。
忽必烈为了巩固元朝的统治，网罗了一大批汉族的知识分子作为智囊
团。其中有以编制《授时历》闻名的王恂（1235—1281）郭守敬（1231—
1316）以及编制历法的倡导者和主持者刘秉忠（1216—1274）、张文谦（1216
—1283）、许衡（1209—1281）等人。这个集团中的人物，对数学和历法
都很精通。他们未入朝之前，曾隐居于河北南部的武安紫金山中。受到忽
必烈礼聘的，还有李冶（1192—1279），他也是一位著名的数学家。
就当时的数学发展情况而论，在13 世纪中叶，在河北南部和山西南部
地区，出现了一个以“天元术”（一种带有中国古代数学特点的代数学）
为代表的数学研究中心。按祖颐在“《四元玉鉴》后序中叙述天元术发展
情况时所说：“平阳（今山西临汾）蒋周撰《益古》，博陆（今河北蠡县）
李文一撰《照胆》，鹿泉（今河北获鹿）石信道撰《钤经》，平水（今山
西新绛）刘汝谐撰《如积释锁》，绛人（今山西新绛）元裕细草之，后人
始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》兼有地元，霍山（今山
西临汾）邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》末仅有人元二问。吾
友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天地人物
成立四元。。。”这段序文叙述出朱世杰学术上的师承关系。毫无疑问，
他较好地继承了当时北方数学的主要成就。当时的北方，正处于天元术逐
渐发展成为二元、三元术的重要时期，正是朱世杰把这一成就拓展为四元
术的。
朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数
学成就——各种日用、商用数学和口诀、歌诀等。本来，在元灭南宋之前，
南北之间的数学交流是比较少的。朱世杰“周流四方，复游广陵（今扬州）”
应是在1276 年元军对南宋的大规模军事行动结束之后。朱世杰在经过长期
游学、讲学之后，终于在1299 年和1303 年在扬州刊刻了他的两部数学著
作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》。
隋唐以来，中原地区经济中心和文化中心逐渐南移。长江中下游一带，
五代十国时期就比较稳定，北宋时期也有较大发展。随着金兵入侵和宋王
朝的南迁，江南地区的农业、手工业、商业和城市建设等都有较大发展。
在这样的社会条件下，中国数学中自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势
有了进一步的发展，日用数学和商用数学更加普及。南宋时杨辉的著作可
以作为这一倾向的代表，而朱世杰所著的《算学启蒙》，则是这一倾向的
继承和发展。
当然，以所取得的成就而论，《四元玉鉴》是远超《算学启蒙》的。
清代罗士琳在评论朱世杰的数学成就时说：“汉卿在宋元间，与秦道古（九
韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足
上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上”
（罗士琳编《畴人传·续编·朱世杰条》）。清代另一位数学家王鉴也说：
“朱松庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”（王鉴《算学启蒙述义·自
序》）。此外，朱世杰还继承发展了日用、商用数学。由此可见，朱世杰
可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，
是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰。
朱世杰的数学著作，如前所述，有《算�