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因为右手和左手都是众所周知的镜像，所以人们习惯地把与其镜像相反的物体称为左手的或右手的。在一对镜像物中，究竟哪一个叫做像，是一个习惯问题。这正如街道的右侧不存在绝对位置一样，它取决于你行走的方向。两种麦比乌斯带已被人们称为右旋和左旋的麦比乌斯带，但是不必担心何者右旋，何者左旋。分子也存在右旋和左旋形式，人们称它们为手性，它是从希腊词“手（Cheir）”借用来的。
右旋和左旋麦比乌斯带都是镜像形状的实例，从拓扑学来看，它们在性质上是截然不同的，但有着等价的镜像形状。现以一简单图形为例，一个圆形是它本身的镜像，显然，从拓扑学上看，圆形与它本身是等价的。
另一个例子是字母R及其镜像Я。若用软橡胶制成图形R，那么可以用拓扑学的变形方法把它变换成为它的镜像。
可是，分子不是软橡胶制成的，物理的约束力防止它们以任何方式发生变形。尽管如此，R形分子还是能够转变成为它的镜像，无须弯曲变形——的确根本不需要弯曲。这次，如果把用硬塑料制成的字母图形R及其镜像Я放在桌子上，那么，只要把它拿起来翻转，就能使其中一个变成另一个。
这种变换由于物体始终保持其刚性，所以叫做刚性变换。
许多有机分子都是刚性的手性分子：它与它的镜像在刚性上是截然不同的。人体明显偏爱某种手征的手性分子。例如，大多数的蛋白质都是由左旋氨基酸和右旋糖组成的。当手性分子在人体内合成时，只能产生具有所需手征的手性分子。
但是，当诸如药物等手性分子在实验室内用非生物方法合成时，结果都是右旋与左旋形式分子的对半混合。当病人服药时，由于难于除掉不是所需形式的分子，所以服用的是混合物。一般说来，非所需形式的分子在生物学上是惰性的，而且只是经过身体，无任何作用。有时还是有害的。60年代初期，就曾发生给妊娠妇女服用擦里多米德药物事件。药物中的右旋分子具有所需的镇静药性，而左旋分子却能造成新生儿畸形。
英国伦敦皇家学院化学教授斯蒂芬。梅森在英国周刊《新科学家》发表的文章中，注意到收入标准药物手册中的486种合成生产的手性药物，只有88种是由所需的手征分子组成的。其余的398种全都是对半的混合物。梅森得出了结论：“它们都是在特定环境（人体）中使用，某种手征会得到特别的偏爱。可是，效果又会怎样呢？”
当一位有机化学家分析一种新分子时，首先要做的事是试图确定分子是否刚性的手性分子，即在刚性上与其镜像是否截然不同。这里可借助于拓扑学。从拓扑学上看，如果分子与其镜像性质不同，那么它们在刚性上也是不同的，因为刚性变换只能是许多通过拓扑学完成的变换中的一种。还以上面讨论过的R及其镜像Я作为例子。在从一个变形成为另一个时，可以得到一种中间的形状Я，它具有对称性，其左半是其右半的镜像。
拓扑学家们知道，如果一种形状能够变形成为某种具有反射对称性的形状，那么该形状本身就能够变形成为其镜像。这就意味着，如果化学家能够让分子获得具有反射对称性的形状，那么，他就能消除分子的手性。
这种见解往往证明是有用的。沃尔巴已经从三级梯形分子中合成出分子的麦比乌斯带，他请我去直接观察从两级梯形分子中合成的类似方法。所得到的形状是手性吗？如下图所示，由于它能变换成为具有反射对称性的形状，所以不是手性的。
可惜，这种解释对于三级麦比乌斯分子似乎不起作用。经过许多思考实验之后，沃尔巴推测，好像它不可能变形成为具有反射对称性的形状。如果变形后已经显示出反射对称性，那么他就会断定，三级麦比乌斯形状可以变形成为它的镜像。可是，这样的逆叙正确吗？任何变形未能显示出反射对称性，是否意味着分子本身就不能变形成为其镜像？
毛病就出在答案太容易上。沃尔巴请我考虑两只橡胶手套，一只为右手的，另一只则是左手的。
手套显然都是镜像的，可是从拓扑学来看，它们等价吗？当然，手套在刚性上是不等价的，因为如果我们像翻转字母R那样翻转两只手套中的一只来获得镜像，那是行不通的。然而，如果我们把任何一只手套从里往外翻转，那么就能使手套成为等价。
（拓扑学家因而发现它自己处在一个奇特的位置上，既不能认为手套是右手的，也不能认为是左手的。）在把手套从里往外翻转的过程中，手套在任何步骤都不具有反射对称性。
我们也许能够得出结论，手套是一个反例：某种形状在拓扑学上与其镜像等价，但在其变形过程中却不具备反射对称性。这种结论可能是错误的。只是我们没有让手套充分变形。如果我们使劲拽开手套，那么至少在理论上能够把手套变形成为一个圆盘的形状，这时手套就具有反射对称性（沿任何直径方向都有反射对称性）。
以上讨论的要点是，沃尔巴在化学方面的一些研究已向拓扑学家提出一个重要问题：如果某种形状在变形过程中不可能具备反射对称性，那么是否可以得出结论，从拓扑学上看，形状本身与其镜像不等价呢？这是一个基本问题，但在数学文献上，好像还没有人提出来过。
这个问题整个都牵扯到一个重要的哲学问题：物理科学上的新概念是否常常会启迪出数学上的新概念？或者反之？换句话说，何者在先，是物理科学，还是数学？许多哲学家遇到过这个问题，这与众所周知的关于鸡和蛋何者在先的问题一样，答案看来是不会令人满意的。
在这两种情况下，人们所得出的结论，似乎不是一个不可置否的证据，而是一个目的性的试验。一些步柏拉图后尘的专横数学家断言，他们的学科是与物理学实际相脱离的。他们认为，即使没有可供计数的物体，数字也会存在。不大固执的数学家们则承认，科学与数学是紧密相连的，但他们坚持数学在先。他们提出群论作为证据，群论是数学的一门分支学科，在19世纪30年代诞生，它完全没有物理学上的用途，只是最近才被粒子物理学家应用，以便用于研究过去20年内发现的亚原子粒子集。
但是，物理学家们则相信他们的学科在先，而且认为历史是站在他们一边。例如伊萨克。牛顿创造了数学中著名的分支学科微积分，就是因为他当时需要一种数学工具，用来分析极小的空间与时间间隔。而我认为，数学与科学都相得益彰，才是惟一公正的结论，尽管这种判断既不鼓舞人心，也不增进知识。麦比乌斯带的故事就是数学与物理科学之间错综复杂相互促进关系的一个很好的实例。1858年的论文竞赛中提出的麦比乌斯带仅仅创立了纯数学，现在它在化学中发展起来，而且已被化学家们熟练地运用，又为纯理论的数学家提出许多问题。
你可以感到欣慰的是，麦比乌斯带不仅可以服务于化学家，而且也可以服务于工业家。B。F。古德里奇公司已经获得麦比乌斯输送带的专利权。在普通输送带中，带的一侧会有较多的磨损与撕裂。而在麦比乌斯输送带中，应力可分布到“两侧”，从而可以延长其使用期一倍。
第七章 遗漏了的带一把手的三孔空心球形问题在40年代和50年代期间，许多在数学上思维敏捷的人曾经热情地工作，研制出第一部电子计算机。当然，他们成功了，而且在过去30年内，数学家们在电子方面的脑力成果已使许多科学领域发生了巨大的变革，然而，可笑的是，数学本身却没有进展。美国斯坦福大学的数学家约瑟夫。凯勒说道：“看看我们这个系，我们拥有的计算机比学校其他系，包括法国文学系在内，都要少。”
“这是很可笑的事，”罗伯特。奥泽曼这样说，他是凯勒的同事，已在斯坦福大学工作了30年。“我们缺乏计算机显然是有几种原因，一是由于一些数学家的保守性——他们不愿意花时间去真正学习如何有效使用计算机——另外，他们认为使用计算机要花很多时间，这正是他们自己不愿努力思考的托词。”
然而这些日子，由于前斯坦福大学学生、现在美国阿默斯特市马萨诸塞州立大学工作的戴维。霍夫曼有了一项引人注意的新发现，使凯勒和霍夫曼对计算机在数学中应用的未来更有信心了，借助于改革了的计算机绘图系统，霍夫曼及其同行、美国赖斯大学几何学家威廉。米克斯第三发现了无穷无尽的优美曲面，这些曲面遵循某些严格的标准。而目前已知的只有3种曲面符合这些标准。这些奇异的曲面已使麦比乌斯带似乎显得世俗而又平凡。无疑，他们填补了数学上的一项空白，而且还证明了这些曲面像麦比乌斯带一样可以用于数学之外的一些学科，诸如胚胎学与牙科学等多种学科。
计算机对基础数学做出的最著名的贡献是一项“10岁”的成果，它打乱了老规律。1976年，美国伊利诺斯大学肯尼思。阿佩尔和沃尔夫冈。哈肯证明了著名的四色地图定理，该定理阐明了用这种方法至多只需4种颜色，就能把许多想象到的国家绘制在一张彩色平面地图内，而其中的任何两个邻国颜色不同。
当时，我还是美国哈佛大学的一名大学生，当该证明的消息传到坎布里奇市时，我的微分方程老师中断了讲课，打开香槟酒瓶，热烈庆贺。124年来，四色地图定理（以简单的辞藻形容，就是多么的诱人）曾经搞乱了著名数学家与献身数学的业余爱好者的步伐，他们都曾徒劳地探索这项证明（或许可以预料地得到了反证）。我和穿着漂亮服装的同学都跟随着我们的老师，高举酒杯，为阿佩尔与哈肯已经攀登上数学的珠穆朗玛峰而干杯。
几天以后，我们知道了阿佩尔与哈肯使用的未曾有过的高速计算机取得的这项证明：1，200小时的工作量仅用3小时就记录完。这项证明若用手工检验，简直是太长了。（好奇的读者可消磨10年的时间去研究《伊利诺斯数学杂志》第二十一卷中460多页的检验表。）
我还能回忆起当时我们的心绪是多么的烦恼。这项证明不符合那时保罗。厄尔多斯所赞同的数学观点，他是一位到处走动的古稀老人，世界上最多产的数学家之一。厄尔多斯认为，上帝有一本很薄的小册子，书中含有所有重要数学定理的简明的第一流的证明。毫无疑问，四色地图定理包含在该书内，而阿佩尔与哈肯的证明肯定不在其列。
我们的老师和我们都感到沮丧，有些人担心计算机会出差错，因而造成微妙的误差。另一些人承认计算机有助于定理的证明，但还希望众所周知的聪明的中学生有朝一日会不用计算机就能做出简明漂亮的证明，一项像厄尔多斯心目中上帝所赋予的证明。还有一些人则想知道，那冗长乏味的证明是否就是论题的最后定论；不过，他们都曾猜想过，四色地图定理是整个令人感兴趣的定理中的代表，简单的证明不会存在，也不可能存在。
今天，10多年过去了，对阿佩尔与哈肯的工作