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比如在图7。9 中，某投资者认为经过A 的曲线上的点（代表的组合）具有相同的满意程度，那么这条曲线就是该投资者过A 的一条无差异曲线。有了这条无差异曲线，对该投资者而言，任何证券或证券组合均可与证券组合A进行比较：位于这条无差异曲线上的点（组合）与组合A 无差异，如B；位于该无差异曲线上方的组合，如C，比组合A 更满意（同样，比无差异曲线上的任何组合更满意）；相反位于过A 的无差异曲线下方的组合，如 D，则不如A（及无差异曲线上的任何组合）更满意。
当在均值方差坐标系中，将某投资者认为满意程度相同的点连成无差异曲线时，我们便得到无穷多条无差异曲线。所有这些无差异曲线的全体便称为该投资者的无差异曲线族。有了无差异曲线族，该投资者能够对所有的证券或证券组合进行比较：同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异曲线位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。如图7。10，从无差异曲线l4 到l1，逐条曲线上组合的满意程度依次上升。
其次，无差异曲线满足下列特征：
（1）无差异曲线向右上方倾斜；
（2）无差异曲线随着风险水平增加越来越陡；
（3）无差异曲线之间互不相交。
上述三个性质源于我们对投资者的期望收益率和风险的偏好态度所作的假定：不知足而且厌恶风险。性质（1）和（3）很容易理解，而性质（2）的涵义是：随着风险水平增加，投资者要求的边际补偿率越来越大，即收益增加的速度快于风险增加的速度。
每一个投资者都有自己的无差异曲线族，它反映了该投资者的偏好态度。不同投资者因为偏好态度不同，会拥有不同的无差异曲线族。图7。11提供了几种不同偏好态度的投资者的无差异曲线的状况。无差异曲线越陡，表明投资者对风险越厌恶。
2。最优证券组合
在马柯威茨假设下，每个投资者均会在有效边界上选择一个组合，但由于不伺投资者偏好态度的具体差异，他们会选择有效边界上不同的组合，其原因在于马柯威茨假设未对有效边界上的组合之间的比较关系作出限定，而投资者个人根据自身的偏好态度拥有自己的无差异曲线。通过无差异曲线，投资者能够对任何证券之间的满足程度作出比较，特别是，他也就能对有效边界上不同组合的满意程度作出比较。如图7。12，位于越靠左上的无差异曲线上的组合满意程度越高。如此，有效边界上位于最靠上的无差异曲线上的证券组合便是所有有效组合中该投资者认为最满意的组合，即在该投资看来最优的组合。这一组合事实上就是无差异曲线族与有效边界相切的切点所对应的组合。
（四）马柯威茨均值方差模型的应用
马柯威茨均值方差模型主要应用于资金在各种证券资产上的合理分配。
根据前面的讨论，应用马柯威茨模型时可分为以下几步进行：
第一步，估计各单个证券的期望收益率、方差，以及每一对证券之间的
相关系数。
通常对期望收益率、方差及相关系数的估计可利用历史数据通过统计估计技术来完成。在市场相对稳定的情况下，这种估计具有较好的精确性，在不稳定的情况下还需要投资者在对未来形势作出分析判断的基础上对这些估计作出改进。
第二步，对给定的期望收益率水平计算最小方差组合。
当允许卖空时，为求得每一给定期望收益率水平的最小方差组合，实际只要对两个不同的期望收益率水平分别计算其最小方差组合即可，因为此时的最小方差集可由其上的两个组合的再组合产生。而对于给定的某期望收益率水平，计算其最小方差组合可通过数学上的拉格朗日乘数法来完成，或通过计算机的试错程序来确定。
在不允许卖空的情况下，其计算会更加复杂。
无论如何，马柯威茨模型在应用时面临的最大困难是计算十分复杂，所以在实际中马柯威茨模型并不应用于一般的资产分配问题，而是把它应用于不同资产类型上的分配问题。将每一类资产当作一种证券，这就好比在为数很少的几种证券上使用马柯威茨模型，这时的计算量相对较小。更一般的资产分配（如各种普通股）财使用简化的模型——因素模型来完成。
三、资本资产定价模型
（一）标准的资本资产定价模型
1。假设条件
任何一种模型或理论的建立都需要建立者对现实的复杂环境进行抽象，以便将注意力集中在最重要的因素上，于是需要对现实环境作出某些必要的简化假设。毫无例外，资本资产定价模型也是在通过某些假设对现实环境进行简化的基础上建立起来的。这些假设可概括为三个：
假设一：投资者都依据组合的期望收益率和方差选择证券组合。
假设二：投资者对证券的收益和风险及证券间的关联性具有完全相同的预期。
假设三：资本市场没有摩擦。
在这里需要对第三个假设作出具体说明。所谓摩擦是指对整个市场上的资本和信息的自由流通的阻碍。因此该假设意味着不考虑交易成本及对红利、股息和资本收益的征税，并且假定信息向市场中的每个人自由流动、在借贷和卖空上没有限制及市场只有一个无风险利率。
2。资本市场线
由于在卖空上没有限制，投资者的风险证券组合（不含无风险资产）的可行域将具有图7。12 的形状。又由于假设每个投资者都有相同的预期（包括期望收益率、方差及各对证券间的相互关系），因而每个投资者将拥有同一个风险证券组合的可行域。当存在一种无风险资产F，并允许无限制地借贷时，人们可以将无风险资产F 与每一个可行的风险证券组合再组合来增加证券组合的选择机会，从而使得原有的风险证券组合的可行域扩大为新的允许含有无风险资产的证券组合可行域。这个可行域就是图7。13 中由F 出发并且与风险证券组合可行域的边界相切的两条射线所夹的区域。由于在资本资产定价模型中假设只有一种无风险利率，因而所有无风险资产可视为同一个无风险资产。不妨假设市场上只存在一个无风险资产F，于是，所有投资者会拥有同一个新的可行域。
显然，新的可行域的有效边界就是由无风险资产F 向风险证券组合可行域的有效边界所作的切线（即两条切线中上边那一条），切点为R。这一切点R有特别的重要性。其一，它既位于风险证券组合可行域的有效边界上，又位于新的可行域的边界上。其二，新的有效边界上的组合均可视为无风险资产F 与风险证券组合R（切点组合）的组合。
每个投资者可以根据自己的偏好在新的有效边界射线FR 上选择他认为最优的证券组合。如果所选择的组合位于F 与R 之间，表明他贷出无风险资产并购买风险证券组合R；如果所选择的组合位于FR 的右上延长线上，则表明他将借入无风险资产并将获得的资金和原有资金一起全部投资于风险证券组合R 上。无论如何，每一个投资者的最优证券组合中所包含的对风险证券的投资部分都可归结为对同一个风险组合R 的投资，即在每个投资者的最优证券组合中，对各种风险证券投资的相对比例均与R 相同。所不同的是每个投资者对无风险资产和风险组合R 之间的投资比例不同。R 被称为最优风险组合。
由于每个人均投资于相同的风险组合R，因而在均衡状态下，这个组合中所含各种风险证券的比例应该与整个市场上的风险证券的市值比例一致。
任何一个与市场中各风险证券市值比例一致的风险证券组合称之为一个市场组合，记作。于是市场组合中证券的投资比例 为：
式中：Pi——证券i 的价格；
Qi——证券i 的股份数；
N——证券种类总数。
根据上面的分析，在资本资产定价模型假设下的均衡状态下，最优风险组合R 等于市场组合M。
通过上面的讨论，我们知道：在资本资产定价模型假设下，当市场达到均衡时，市场组合成为一个有效组合，而所有有效组合都可视为无风险资产与市场组合的再组合；这些有效组合在期望收益率和标准差的坐标系中刚好构成连结无风险资产F 与市场组合M 的射线FMH，这条射线称为资本市场线，如图7。14。资本市场线表明了有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简单的线性关系。这种关系可由资本市场线的方程来表述。由于资本市场线通过无风险资产（点（O，rF））及市场组合M（点（σM，EM）），于是资本市场线的方程为：
式中：Ep——有效组合p 的期望收益率；
σp——有效组合p 的标准差；
EM——市场组合M 的期望收益率；
σM——市场组合M 的标准差；
rF——无风险利率。
资本市场线的方程对有效组合的期望收益率和风险之间的关系提供了十分完整的阐述——有效组合的期望收益率由两部分构成：一部分是无风险利率rF，它是由时间创造的，是对放弃即期消费的补偿；另一部分则是对承担风险σp 的补偿，通常称为风险溢价，它与承担的风险σp 的大小成正比，其中的系数（也就是资本市场线的斜率）代表了对单位风险的补偿，通常称之为风险的价格，如图7。14。
3。证券市场线
由资本市场线所反映的关系可以看出，在均衡状态下，市场对有效组合的风险即标准差提供补偿。而有效组合的标准差由各单个证券所共同贡献，因而这种补偿可视为对各单个证券承担风险的补偿的总和，或者说这种补偿可以分配给每一个单个证券。显然这种分配应按各单个证券对有效组合标准差的贡献大小来分配。由于有效组合中风险证券的构成与市场组合一致，因此我们只需考虑各单个证券对市场组合标准差的贡献情况即可。鉴于考虑单个证券对市场组合方差的贡献更容易表达，我们不妨对方差进行考察。
数学上容易证明，市场组合的方差σ 可分解为：
式中： ——证券组合中第种证券的投资比例；
σi——第i 种证券的标准差；
ρiM——第i 种证券与市场组合M 的相关系数；
ρiMσiσM——单位资金的第i 种证券对市场组合M的方差所作的贡献，通常称之为证券i与市场组合M 的协方差，记作σiM。
期望收益率EM—rF 可被视为市场对市场组合的标准差σM 的补偿，也即相当于对方差σ 的补偿，于是对单位资金的证券的期望收益即期 （期望收益率的奖励按其对作出的相对贡献应为
于是有：
其中Ei 表示证券i 的期望收益率。记
方程（7。7）可改写为
该方程表明：单个证券i 的期望收益率与其对市场组合方差的贡献率 之间存在着线性关系，而不像有效组合那样与标准差总风险）有线性关系。因而从定价角度考虑，单个证券的风险用βi 来测定更为合理。人们给βi 一个特殊的名称——证券i 的β系数。
对任何一个证券组合p，设其投资于各种证券的比例分别为X1，X2？？，Xn，那么显然有：
令βp=X1β1＋？？＋Xnβn，则有
可见，无论单个证券还是证券组合，均可将其β系数作为风险的合理测定，其期望收益与由β系数测