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1 11
2 22
4 44
8 88
由于13＝1＋4＋8，所以只要把与1、4、8对应的倍数加起来即可，即
11＋44＋88＝143。如果要将521除以23，则可连续地将23加倍并相加，
直到超过543为止，步骤如
1 23
2 46
4 92
8 184
… Page 68…
16 368
由于
521＝368＋153
＝368＋92＋61
＝368＋92＋46＋15
所以其商为16＋4＋2＝22，余数为15。
埃及数系中也有分数的记法，但比较复杂，他们是在整数顶上记上
计算时，把所有分数都拆成所谓“单位分数”（即分子为1的分数）再
2 1 1 2 1 1
取和求出。例如
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（3）古印度的数学知识
古代印度的数学成就，没有达到古巴比伦和埃及的高度，不过在受
到希腊数学的影响之前，也有他们自具特色的一些成就。
由于缺少可靠的记录，对公元前800年之前印度数学的发展，目前
知之甚少，只是从一些早期城市遗迹和灌溉工程可知，古印度人早已有
了书写、计算和度量衡体系，并且有了很基本的数学和工程知识。
公元前800年到公元前200年，是印度产生“绳法经”的年代。“绳
法经”是一类宗教经文，包含有修筑祭坛的法则。在这些宗教作品以及
一些钱币和铭文中，都包含着一些有关数学的内容。
在亚历山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫尔雅帝
国，并很快扩展到全印度。莫尔雅最著名的统治者阿索库（公元前272
—前 232）在印度的每个重要城市立了大石柱，保存下了当时的数字符
号。这些符号后来不断发生变化，最典型的是如图6。3所示的Brahmi式
记号。这一组记号从1到9的每一个数都有一个特殊的符号，这是它的
优越之处；缺陷是没有零，也没有进位记法。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
30 40 50 60
图6。3古印度的数字记号
在公元前5或4世纪出现的一部“绳法经”里，在讲到拉绳设计祭
坛时，包含了一些古印度时期所知的几何法则。这些法则规定了祭坛的
形状和尺寸所应满足的条件，最常用的是正方形、圆形和半圆形三种形
状；但不管何种形状，祭坛的面积必须相等。他们掌握了怎样求等于两
个正方形之和或差的一个正方形，或等于一个给定矩形的正方形；他们
还能作出与正方形等面积的圆。或两倍于正方形面积的圆以便采用半圆
形的祭坛。他们实际上用到了下述解圆方问题的法则：
S
d＝（2十 2 ） ，
3
S＝13d/15。
其中d为圆的直径，S为面积相等的正方形的边。他们实际上是取π＝
3。09 。关于 2，“绳法经”给出了它的近似值：
1 1 1
2
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进数学，从而使数学由经验知识上升为理论知识，特别是初等几何，它
的演绎的理论形式被推崇为数学科学的典范，其影响一直持续到今。
（1）泰勒斯的工作
古希腊的第一位著名数学家是泰勒斯，他被认为是希腊几何学的始
祖。泰勒斯的几何学知识最初是跟埃及人学的。在埃及，由于尼罗河水
常常泛滥，也就需要经常重新丈量土地，所以几何学的一些知识最早是
埃及人发现的。据说，泰勒斯在埃及旅行时，曾巧妙地利用几何学知识
解决了一个难题。当时，埃及祭司们想测量金字塔的高度，但又找不到
测量的方法。泰勒斯则利用他学到的几何学知识解决了这一难题。他的
具体方法历史上有两种不同的说法。一种说法是，泰勒斯在阳光以45°
的角度照射金字塔时，根据金字塔阴影的长度求得了结果：金字塔高就
等于阴影的长度。这个传说似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知识。
还有一种说法是，泰勒斯用一根已知长度的杆子，通过同时测量杆影和
金字塔影的长度，利用杆影长与塔影长的比等于杆高与塔高的比，算出
塔高。这种说法则表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑
问，金字塔的底非常大，影长是从影子的顶点到金字塔底的中心，这个
影长是难以直接量的。后人提出，可能的办法是作两次观测。第一次观
测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶
点在B处，塔影顶点在b处。 AB与ab的比就等于杆高和塔高的比，从
①
而求出金字塔的高度 。总而言之，泰勒斯的成就超过了他的老师们。
埃及人的几何学知识还只是停留在经验的层次上，到泰勒斯，几何
学开始建立在一般原理的演绎基础上，后人把几条最早的几何定理归于
泰勒斯的发现，这成为他在几何学上的主要贡献。这几条定理是：
①圆的直径平分圆周；
②内接于半圆的角是直角；
③等腰三角形的两个底角相等；
④两条直线相交时，对顶角相等；
⑤两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，则这两个三角形
全等。
据载，泰勒斯曾应用两个三角形全等的定理，测定船舶离岸的远近。
他的求法是这样的：见图6。4，A是岸上一点，船在A的正前方P点。在
岸上作AP的垂线AB，找出AB的中点C。测量者沿垂直于AB的方向走，
直到在K点观测使K、C、P三点在一条直线上。可以知道三角形APC与
三角形BKC全等，从而AP等于BK；BK可以直接测量出，那么从岸上一
②
点A到船的距离就可以得到 。
图6。4泰勒斯测定船离岸的距离
至于泰勒斯是否对上述定理作过证明，现在还没有发现这方面的资
料。这些定理很可能是在大量观察的基础上，经过反复实践证明，成为
大家公认的事实。泰勒斯只不过予以抽象和总结。
① 参阅梁宗巨《世界数学史简编》，辽宁人民出版社1981 年版，第96 页。
② 参阅中外数学简史编写组《外国数学简史》，山东教育出版社1987 年版，第91 页。
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（2）毕达哥拉斯学派的数学研究
毕达哥拉斯学派认为宇宙的本原是数，可见他们对数的重视。在对
宇宙结构的研究中，他们还发现了其中的一些数学关系，这对他们试图
建立一种以数解释宇宙现象的哲学，无疑是一种鼓舞。因此，毕达哥拉
斯学派使数学的研究发生了重大的变化。在巴比伦和埃及，对数学的研
究基本上还是处于经验的阶段。而从毕达哥拉斯开始，产生了数的抽象
概念，进而由研究个别的抽象的数过渡到研究它们的一般规律。这种与
自然运算的一般性质有关的研究被称为算术的一个分支——理论算术。
毕达哥拉斯学派最早大概是用沙粒或石子来计算的，因为他们常把
数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并且按照它们所能排列而成的形状进
行了数的分类。如图6。5，1、3、6、10，这些数 叫三角形数，因为相
应的点 可以排列成正三角形；1、49、16，这些数叫做正方形 数，
因为相应的点能排成正方形。这样，他们就把数和 图6。5三角形数与
正方形数形联系起来了，而且使得数的一些性质变得比较明显。比如，
如图6。6中划了一条斜线后，就可以得出：两个相继的三角形数之和是
正方形数；再如从图6。6中所 图6。6三角形数与正方形数的关系示的
方法可以从一个正方形数得出另一个正方形数。毕达哥拉斯还得到了五
边形数、六边形数和其它多边形数。
图6。5三角形数与正方形数
图6。6三角形数与正方形数的关系
毕达哥拉斯学派通过数与数之间的某种关系，对数进行了分类。如
果一个数等于它的所有因数 （能除尽该数的数，包括1而不包括该数本
身）的和，他们称这个数为完全数。6就是一个完全数，6=1＋2＋3，还
有28，496等也是完全数。如果一个数大于其因数之和的叫盈数，小于
其因数之和的叫亏数；如果有两个数，一个数是另一个数的因数和，则
这二个数称为亲和数 （如284与220）。
毕达哥拉斯学派还搞了一个法则，用这个法则可以求出直角三角形
三边的三元数组。用现代的记法，可以将这一法则表述为：若m是奇数，
2？ 2
则m、（m 1）/2及 （m＋1）/2就是这种三元数组。如今人们把形成
直角三角形三条边的三个整数所构成的数组统称为毕达哥拉斯三元数
组。
毕达哥拉斯所说的数指的是整数，而实际上直角三角形边长之比却
不能总用整数表达，也就是存在着不可公度比。毕达哥拉斯学派把那些
能用整数表达的比称为公度比，含义是对相比较的两个量可以用公共度
量单位量尽；而把那些用公共度量单位量不尽的量之比称为不可公度
比。正是这个“不可公度”问题，使得毕达哥拉斯学派未能在理论算术
这一分支取得更进一步的成果，而把注意力转向了几何学。
毕达哥拉斯学派遇到的“不可公度”问题，实际上就是发现了 2
是一个不能用整数或分数来表达的数。用现代数学的语言讲，就是 2 是
不能用十进有限小数来表达的数。2 不可公度问题的来源可能有三个因
素：①在几何中，求正方形对角线与边的公共度量；②在算术中，某一
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