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数学乐旅-第27章

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  1,11点或更小时,总可以要牌,如果9点时庄家亮牌是3到6,10或11点时庄家亮牌比自己差,还可以加倍。
  2,17点或更多时,总该停住。
  3,12点到16点间,如果庄家亮牌是6或更小,就该停住,不然就该要牌。唯一的例外是12点对庄家亮牌2和3点时也该要牌。另外在自己拿到16点而庄家是9、10、A,或自己拿到15点,而庄家是10点时,应该投降。
  对于嫌麻烦的人,记住以上三点,就已经够了,因为这张表涵盖了大多数情况,拿到A和两张同样点数的牌的可能性不是那么大。但是如果想少输点钱,还是必须把后两张表也背下来。好在它们也很有规律,比如软13到18点对庄家6点或更小的亮牌时,可以考虑加倍,其判断梯形为:不太有把握的软13、14点只对庄家的5、6点加倍,软15、16扩展到庄家的4点,软17、18则扩展到3点。


附录:三、二十一点算牌法
  二十一点能够算牌,是因为推导“基本策略”的前提,“假设52张牌出现的概率始终相同”,并不成立。显然,不可能有由无穷多副牌组成的牌盒,前面出过的牌总会影响后面的牌。在算牌法出现之前,赌场使用一副牌来玩二十一点,那么这个影响就更明显。比如,发牌员发出牌来,你拿到两个10(包括J、Q、K),庄家亮牌也是10,翻出底牌来还是10,那么下一轮里10出现的概率已不再是4/13,而是12/48,即1/4,略低于4/13。同样的,其他点数出现的概率也已不再是1/13,而是1/12。
  象轮盘赌这类游戏,每次轮盘转出什么结果,和上一次完全没有关系。还有牌九这类游戏,每玩过一轮,就重新洗牌。这些游戏里,每把赌博之间都是互相独立的。而二十一点的各把之间,在重新洗牌之前,不是独立的。前一把出现了什么牌,会影响到下一把。因此,如果我们能记住前面出过什么牌,就能大致预测以后的赌局走势,从而调整自己的赌注,在对自己有利时下大注,在对庄家有利时下小注或不下注,就能在这个游戏里占到优势。
  UCLA的数学教授爱德华·索普(Edward Thorp)在六十年代初发明了二十一点算牌法。他注意到,如果二十一点里10出现的概率增高,对庄家是不利的,因为庄家在十六点及更低时必须要牌,10越多,就越容易爆掉,而对玩家来说,则更容易拿到BJ,赢一倍半的钱。所以他用一种“算10法(10…Count)”,计算剩下的牌中10的比例。正常情况下,这个比例应该是4/13,庄家占优势。但当前面出掉很多小牌,10的比例达到1/3时,优势就转移到玩家这边来了。
  索普的运气不错,那时计算机也发明出来了,他找到IBM公司里的朋友,写了个程序来验证自己的算牌方法。那时的计算机跟今天比起来,还是速度低下、体积庞大的蠢物,足足运转了七天七夜,终于证明了这个方法是可行的。索普又自己到赌场里亲自实践,结果果然大赢特赢。
  1962年他出版了《打败庄家(Beat the Dealer)》一书,向公众介绍了自己的算牌法。“算10法”比较难操作,需要极高的心智和注意力。好在群众的智慧是无穷的,算牌手们沿着索普指定的方向走下去,已经把算牌方法演进得越来越简单实用(索普本人在60年代后期就淡出了赌博界,带着他在赌场赢来的大笔资金,进入股票市场,运用他的数学知识,现在已成为超级巨富)。
  我使用的是一种叫“高低法(High…Low)”的算牌法。在游戏过程中,我们把每一张出现的2,3,4,5,6都算+1点,7,8,9算0点,10,J,Q,K,A算-1点,将各点相加,结果越大,就表示前面出现过的小牌越多,对玩家越有利。反过来,如果结果是个负数,就表示前面出过的大牌比小牌多,对庄家有利。
  比如前面出现的牌是:
  4,9,10,5,J,A,8,10,Q,2,6,K,J,7
  那么点数就是4张小牌减7张大牌,是-3。当然,在游戏过程中,你不可能叫庄家把牌局暂停,让你从容加减。你必须在每张牌出来时,就在心里默算点数。比如在上面的例子里,从第一张牌出现开始,你就应该在心里默算出:
  1,1,0,1,0,-1,0,-2,-3,-2,-1,-2,-3,-3
  在实际运用中,还可以采取两张牌一计的技巧,因为庄家发牌时一般速度较快,这样可以方便地把很多同时出现的大牌和小牌抵消不计,提高了算牌速度,减少了可能的计算错误。比如在上面的例子里,如果两张牌一计,那就是:
  1,1,-1,-2,-2,-2,-3
  如果是一副牌,-3已经是很糟糕的点数了,这时应该下最小注,或者停止不玩。不过一般来说,现在的赌场都使用六到八副牌,那么在六副牌312张牌内,发出14张牌,还剩298张牌,平均每副牌的点数是(-3)×52/298=-0。5,还算可以忍受。
  显然,在每一盒牌(“盒(shoe)”是指一盒牌从开始发牌到洗牌的过程,这一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副数的牌)的开始,由于大部分牌还未发出,因此平均点数总是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多时,平均点数才可能比较显著地偏离0。所以算牌手在算牌时都会寻找合适的赌桌,一方面要找人少的桌子,因为人越少,你在单位时间内玩的次数越多,实际收益才会更逼近期望值;另一方面要找切牌少的发牌员,因为该切多少牌,赌场只有个大概的规定,具体执行还是要靠发牌员的觉悟,所以同一家赌场里,不同的发牌员切出的牌来常会差很多。
  在点数变大时,该怎么提高赌注,每个算牌手都有自己的习惯和算度。贝尔实验室的J。L。Kelly推导出,在理论上,如果你占A的优势,本钱总数为R,那么最优赌注是B = A × R。
  比如你有一万块钱的本钱,现在你占1%的优势,那么就应该在这把压下一百块钱。这种下注法称为Kelly法,是在理论上可以获得最大回报的方法。但在实践中,Kelly法过于冒险,只可视为下注时的上限。
  斯坦福·王(Stanford Wong)在《二十一点的秘密(Blackjack Secrets)》里说,平均点数每高一点,可增加约0。5%的优势。他是二十一点算牌界里最有名的祖师爷级人物之一,甚至排在爱德华·索普之前,第一个进入了“二十一点名人堂(Blackjack Hall of Fame)”。我第一次看到他的名字时,还以为他是个华裔,后来在电视上看到他,才发现他是个白人老头。斯坦福·王其实是他的艺名:他毕业于斯坦福大学,再加上“王”这个很有气势的东方姓氏。他对中国文化好像很感兴趣,自己创办了一家出版社,就叫“Pi Yee”——念念看吧:什么?辟易?便宜?别数典忘祖了,人家这叫“牌艺出版社”!
  按照他的说法,在0点时,庄家占0。5%的优势。到了1点,双方差不多扯平。平均点数升到2时,玩家就已经占0。5%的优势,可以提高赌注了。如果按照Kelly法,平均点数为7时,玩家占3%的优势,就得将自己全部本钱的3%投进去,显然太过冒险了。
  在点数为0或负数时,玩家应当下最小赌注。当然,最好是干脆不玩,坐等点数变正。早期的那些算牌手就是这么做的,但现在的赌场里,从游弋在各桌间的桌面经理,到高悬在天花板上的监视器,都虎视耽耽地监视着每个赌徒的行为。如果总是点坏不压、点好猛压,还不如直接在脸上写五个大字:“我是算牌手”,说不定还暴露得晚些。
  算牌本身并不难练,难的是和赌场的斗智斗勇。在《打败庄家》刚出版时,它轰动一时,很快成为畅销书,激励了无数赌徒涌向赌场,一试身手。赌场对此大为恐慌,有些赌场甚至关闭了二十一点赌桌。但是,很快他们就又恢复了镇定,因为他们发现,涌来的大批赌徒中,只有极少数人真正掌握了算牌法,其他大多数人只不过是一知半解、道听途说的萝卜。索普这本书为极少数人提供了打败庄家的方法,但对大多数人来说,实际效果却是个二十一点的广告,让他们自以为也能够在二十一点上赢钱。这是个赌场梦寐以求的广告,是他们自己无论花多少钱都做不来的广告。
  在刚开始时,算牌还是个新鲜事物,没有这方面的法律规定,开赌场的又多是黑社会,一旦发现算牌手,一律当老千处理,痛打一顿后扔到臭水沟里。后来大家总算对算牌达成了共识:这是样技术活儿,是在遵守赌场规则的情况下,靠自己的聪明才智来赌博的一种方式;同时各大赌场也多被华尔街的金融巨头接管,开始西装领带的管理方式,摆开堂堂之阵来赚钱,于是算牌手总算不再有人身危险,但赌场既然是人家的私有财产,就有权把某些他们不欢迎的人拒之门外。因此,对一个算牌手来说,难的不是算牌,而是如何不被赌场发现。
  同时,赌场也巧妙地改变了规则,比如用八副牌代替一副牌,牌发到一半时就重新洗牌,不准在一局牌的中间加入赌局等等,极大地增加了算牌的难度。他们逐渐稳住阵脚后,便大开二十一点赌桌,从此二十一点就取代了“蟹赌(Crap)”,成为赌场里最热门的游戏。但在算牌法已经发明了四十多年后的今天,我们在二十一点赌桌上见到的,仍然大多数是萝卜。


附录:四、数学人生观
  我觉得,从数学的角度看,人生和赌博、投资一样,也是通过对各选项的概率预测,来最小化成本、最大化收益,只不过人生所追求的收益,不是金钱,而是心里的幸福满足感。
  这满足感往往被轻易地用金钱来衡量,但金钱仍然只是手段,尤其在现代社会里,生存环境已大为改善,冻馁威胁少却,人们的生活目的便更多地是这些或潜或明意识里的满足感。因此,人生比赌场和投资都要复杂得多,很难清楚地计算得失,而会牵涉到很多心理因素,个中取舍往往藏在潜意识的最深处,连选择者也没有意识到。
  比如风险,每个人对风险的承受能力是不一样的,有人小心谨慎,生怕吃亏,损失十块钱给他带来的伤痛,远大于获得一百块的快乐;有人则迷醉于赌博,侥幸获得十块钱的快感,会大于失去一百块的懊恼。假设有一件成败几率各半的事情,成功了获利十倍,失败了只剩十分之一的资产。从简单的金钱角度看,这件事的期望回报值是四倍多,计算机会向我们强烈推荐。但由于失败后的代价太大,心理成本极高,而成功后由于边际效应,增加十倍的金钱并不能增加十倍的心理满足感,所以真正会选择做这件事的,只有性嗜冒险、放手一博的人。
  从数学的角度看人生,首先必须要理解概率。大概率事件并不必然发生,而是在足够多次重复后,该事件发生的比例趋于此概率。所以,如果上面所举的例子中,这件事可以重复做一千次,那大概所有理智的人都会选择它,因为重复次数越多,结果越可能趋向于期望值。
  当然,人生的特殊之处,就在于时间不会倒转,事件无法重复,因此,我们的选择并不总符合概率分析。同理,我们根据概率分析做出的选择,也并不能保证最好的结果,只是达到好结果的可能性更大。在单次的事件
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