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台上崭露头角，后来居上，在19世纪后半期夺得了科学的主导权。尽管如此，
由于彭加勒等人的继往开来，仍使法国有能力自立于世界科学之林。彭加勒
被认为是19世纪最后1／4和本世纪初期的数学主宰，并且是对数学和它的
应用具有全面知识、雄观大局的最后一位大师。要知道，当时的许多数学分
支都变成了封闭的体系，它们各有其特殊的术语和专门的研究方法，要同时
跨越几个领域实在不易，要作个通才，更是难上加难。可是彭加勒就是这样
的通才，人们公认他是堪与高斯相媲美的大数学家。
在彭加勒出生后的第二年，高斯就去世了。高斯是德国著名的数学家，
被誉为“数学家之王”。他的研究遍及所有数学部门，也是非欧几何学的创
始人之一。可以说，19世纪数学的发展一开始就在数学巨人高斯身影的覆盖
之下，而后来却在同样的一位数学大师彭加勒的支配之中。他们两人是最高
意义上的广博的数学家，并且都在物理学和天文学上作出重要贡献。事实上，
彭加勒在数学的四个主要部门——算术、代数、几何、分析——中的成就都
是开创性的。洛夫在评价彭加勒时说过：
他的权威现在已被公认，他能够进入所有时代最伟大的数学家行列之
中，未来的几代人将不可能修改这一论断。
彭加勒的首次成功是在微分方程理论方面。这项工作完成于1876年11
月，论文题目是《关于微分方程所定义的函数性质》，其时他只有22岁。1878
年，他又完成了同一课题的又一篇论文《自变量的任意个数的偏导数方程的
积分》，它涉及到更加困难、更加普遍的问题。这篇博士论文又一次显示了
彭加勒卓越的数学才能。论文评审人认为，论文是异乎寻常的，它包含着足
以向几篇好论文提供材料的结果，完全值得接受。对于常微分方程的研究促
使彭加勒从事超越函数新关系——自守函数——的探讨，自守函数是椭圆函
数的推广。彭加勒把自己发现的一类自守函数命名为富克斯函数，但富克斯
却没有考虑过，为此克莱因就优先权问题向彭加勒提出抗议。彭加勒的回答
是把自己紧接着发现的一类自守函数命名为克莱因函数，因为这类函数正像
有人所幽默地注视到的，克莱因从来也未想到过。
1884年，彭加勒在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要
论文，这一划时代的发现使不到30岁的彭加勒闻名于世。从此，他一生事业
的魔杖被抓住了。阿拉丁的神灯（阿拉丁是阿拉伯神话《天方夜谭》中寻获
神灯与魔指环的青年，阿拉丁的神灯即如意神灯，此灯可使持有者百事如意）
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被擦亮了。可是，当这组论文的第一篇发表后，克罗内克却警告编辑说，这
篇不成熟的和隐晦的论文会把期刊扼杀掉。
自守函数的研究和微分工程定性理论的研究一样，促使彭加勒重视拓扑
学。1887年，33岁的彭加勒被选入巴黎科学院，像这样年轻的新人进入科学
院实属罕见。大多数数学家在签署意见时认为，彭加勒的工作成就超过了通
常的赞扬，这必然使我们想起雅科毕描述阿贝尔的情况——他解决了在他之
前未曾设想过的问题。事实上必须承认，由于椭圆函数的成功，我们正目睹
数学领域里的一次革命，这次革命在每一个方面都可以和半个世纪前出现的
革命相比较。
彭加勒说过，数学家具有两种截然不同的倾向。有的人具有不断扩张版
图的兴趣，在攻克某个难题后，便抛开这个题目，急着出发进行新的远征。
另外的人则专心致志地围绕着这个问题，从中引出所有能够引出的结果。前
者像一个乘汽车的旅行家，后者则像一个徒步游客。
彭加勒本人就是这样一个在数学新版图上乘车驰骋的旅行家。法国数学
家、彭加勒的传记作家达布谈到彭加勒的这一特点时说：“他一旦达到绝顶，
便不走回头路。他乐于迎击困难，而把沿着既定的宽阔大道前进、肯定更容
易到达终点的工作留给他人”。彭加勒属于库恩所说的发散式思维的科学家，
对于一个科学开拓者来说，这的确是不可或缺的素质。
就这样，彭加勒接二连三地出击，雄心勃勃地进行新的征服。他在函数
论，组合拓扑学 （又称代数拓朴学）、代数学、微分方程和积分方程理论、
代数几何学、发散级数理论、数论、概率论、位势论、数学基础等方面都作
出了开创性的贡献，成为后继者拓展和深究的课题，有些至今仍具有诱人的
魅力。在数学研究的众多领域中，彭加勒永远走在前面。新问题等待着他，
他没有时间仔细琢磨已被攻克的旧问题，他不愿把精力花在那些细枝末节的
小问题上，修正、拓广他作过的东西不是他的职责。维托·沃尔泰拉在评价
彭加勒这一工作作风时说：“对彭加勒而言，整体即是一切，无所谓细节”。
在这方面，彭加勒与高斯迥然不同。高斯的研究成果发表的相对地少，因为
他不管作什么工作，都要琢磨修饰，既要求完美，又要求他的证明达到最大
限度的简明而不失严密性。关于非欧几何，他没有发表过权威性的著作。而
彭加勒却是一位性急而多产的科学家，他甚至说过，他从未发表过一篇既不
后悔它的内容、也不后悔它的形式的论文 （这当然是自谦的说法）。不过，
他们二人有一点则是共同的：他们都没有几个学生，而且都喜欢一人工作。
在数学哲学和数学创造的心理学方面，彭加勒也进行了有意义的探索，
发表了富有启发性的看法。彭加勒巨大的权威性，他的文体的优美，以及他
打破传统的思想，使他的著作超出范围有限的数学界。有的传记作家估计他
的作品有五十万读者，创造了数学界的空前记录，开了一代数学大师的先河。
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三、天文学的剑客
自牛顿以来天文学向数学提出了许多问题。直到19世纪之前，天文学家
在处理天文学问题时所用的武器实际上是牛顿、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯
所发明的武器的改良。但是。从19世纪开始，柯西发展了复变函数论，他本
人和其他人对无穷级数收敛问题进行了研究，天文学的武库通过数学家的努
力正在扩充起来。对于彭加勒来说，他很自然地想到自己的解析学，他把这
种从未运用过的数学新武器用来进攻天文学。他所发动的战役在当时是如此
地现代化，以致在40多年后，还没有几个人能够掌握他的锐利武器。
在19世纪，法国在理论物理学和其他学科方面失去了霸主地位，但在理
论天文学方面仍然领先一步。彭加勒是这一光荣传统的继承人，他站在他的
同胞克莱劳、拉普拉斯、勒维烈这些天文学巨人的肩膀上，当然会看得更远
一些。他的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状（1885年）；太阳系
的稳定性，即n体问题 （1889年）；太阳系的起源 （1911年）。
彭加勒对第一个问题的兴趣是被威廉·汤姆逊，即开耳芬勋爵和泰特的
《论自然哲学》一书中的一节激起的。此外，他在讲授流体力学时也对标准
教材中关于旋转流体的处理感到不满。
彭加勒在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅科毕椭球派生出来的、甬
动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。彭加勒定性地描述
说：
让我们设想一个因冷却而收缩的旋转流体，但是它慢到足以保持均匀，
并且在旋转时，它的所有部分都是相同的。起初，它们是十分近似的球形，
逐渐变成旋转椭球，旋转椭球会越来越扁。接着在某一瞬间，它将变为三个
轴不等的椭球。后来，图形将不再是椭球，而变成梨形，直到最后图形腰部
越来越凹进，分裂成两上独立的、不等的物体。
彭加勒认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小彼此绕着旋转
的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，某些双星必然会呈现
出这样的过渡形式。后来，俄国数学家李亚普诺夫和英国天文学家金斯分别
在1905年和1915年证明：梨形是不稳定的。当然，现在有些人不再相信，
彭加勒的梨形能在宇宙演化中起任何作用。但是，至今仍然有人研究，流质
经过旋转不稳定后发生的分裂可能导致形成双星体系，甚至有人认为地球也
是梨形，因而彭加勒处理问题的一般方法也许可能再度得势。
彭加勒在天文学上的最大成功表现在对“n体问题”的处理上，这是瑞
典国王奥斯卡三世在1887年提出的悬赏问题。设n个质点以任意方式分布在
空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻假定都是已知
的。如果它们之间按照牛顿万有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的
位置和运动速度怎样呢？对于数学天文学来说，一群星系中的每个恒星都可
以视为这样的质点，于是n体问题就相当于今后天空的情况将是什么样子，
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假使我们有足够的观察资料描述目前天空的普遍结构的话。显然，这个天文
学问题不仅具有数学特色，而且具有物理学特色。
关于“两体问题”（n＝2），已被牛顿圆满地解决了。著名的“三体问
题” （n＝3）后来受到人们的注意，因为地球、月亮和太阳就是三体问题的
典型例子。自欧拉以来，人们把它视为整个数学领域最困难的问题之一。从
数学上讲，该问题归结为九个联立微分方程组 （每个都是线性二阶的）。拉
格朗日成功地把这个问题加以简化，可是其解即使存在，也不能用有限个项
来表示，而是一个无穷级数。如果级数在形式上满足方程组，并且对于变数
的某些值收敛，那么解将存在。彭加勒在他1889年的论文中提出了一种新的
强有力的技巧，其中包括渐近展开和积分不变性，并且对微分方程在接近奇
点附近的积分曲线行为作出了根本性的发现。
尽管彭加勒没有解决n体问题，但在三体问题上却获得了明显的突破，
因此评审团还是把奥斯卡奖——2500瑞典克朗和金质奖章——授予他。法国
政府不顾瑞典国王的阻拦，也授予彭加勒“宪兵团荣誉骑士”的称号。彭加
勒在写给奥斯卡奖评审团的信中说：“你们可以告诉你们的君主，这项工作
不能看作是对所提出的问题提供了完美的答案，然而它具有这样的意义：它
的公布将在天体力学上开创一个新时代，因此，陛下所期望的公开竞赛的结
果可以认为是达到了”。
彭加勒在数学天文学方面的早期�