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书夜已平分，则新法推十四日春分者为合天，而旧法推十六日者，后天二日矣。知春分，
则秋分及各节气可知，而无疑於雨水矣。
已而天经于春分屈期，每午赴台测午正太阳高度。二月十四日高五十度八分，十五
日高五十度三十分。末经乃言：
京师北极出地三十九度五十五分，则赤道应高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，
其午正高度与赤道高度等，过此则太阳高度必渐多，今置十四日所测高度，加以地半经
差二分，较赤道已多五分。盖原推春分在卯正二五分弱，是时每日纬行二十四分弱，时
差二十一刻五分，则纬行应加五分强。至十五日，并地半径较赤道高度已多至三十分，
况十六日乎？是春分当在十四，不当在十六也。秋风京然。又出《节气图》曰：
内规分三百六十五度四分度之一者，日度也。外规公三百六十度者，天度也。自冬
至起算，越九十一日三十一刻六分，而始历春分者，日为之限敢，乃在天则已逾二度余
矣。又越二百七十三日九十三刻，一十九分，而即交秋分者，亦日为之限也，乃在天不
及二度余。岂非旧法春分每后天二日，秋分先天二日耶？
十年正月辛丑朔，日食，天经等预推京师师见食一分一十秒，应天及各省分秒各殊，
惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。《大统》推食一分六十三秒，
《回回》推食三分七十秒，东局所推止游气侵光三十馀秒。而食时推验，惟天经为密。
时将废《大统》，用新法，于上管理另局历务代州知州郭正中言：“中历必不可尽废，
西历必不可专行。四历各有短长，当参合诸家，兼收西法。”十一年正月，乃诏仍行
《大统历》，如交食经纬，晦朔弦望，因年远有差者，旁求参考新法与回回科并存。上
年，进天经光禄寺卿，仍管历务，十四年十二月，天经言：“《大统》置闰，但论月无
中气，新法尤视合朔后先。今所进十五年新历，其十月、十二月中气，适交次月合朔时
刻之前，所以月内虽无中气，而实非闰月。盖气在朔前，则此气尚属前月之晦也。至十
六年第二月止有惊蛰一节，而春分中气，交第三月合朔之后，则第二月为闰正月，第三
月为第二月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食，测又独验。八月，
诏西法果密，即改为《大统历法》，通行天下。未几国变，竟未施行。本朝用为宪历。
按明制，历官皆世业，成、弘间尚能建修改之议，万历以后则皆专己守残而已。其
非历官而知历者，郑世子而外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有著述。唐顺之
未有成书，其议论散见周述学之《历宗通议》、《历宗中经》。袁黄著《历法新书》，
其天地人三元，则本之陈壤。而雷宗亦著《合壁连珠历法》皆会通回回历以入《授时》，
虽不能如郑世子之精微，其于中西历理，亦有所发明。邢云路《古今律历考》，或言本
出魏文魁手，文魁学本虑浅，无怪其所疏《授时》，皆不得其旨也。
西洋人之来中土者，皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同，而加精密。尝考前代，远
国之人言历法者多在西域，而东南北无闻。唐之《九执律》，元之《万年历》，及洪武
间所译《回回历》，皆西域也。盖尧命义、和仲叔分宅四方，义仲、义叔、和叔则以隅
夷、南交、朔方为限，独和仲但曰“宅西”，而不限以地，岂非当时声教之西被者远哉。
至于周末，畴人子弟分散。西域、天方诸国，接壤西陲，百若东南有大海之阻，又无极
北严寒之畏，则抱书器而西征，势固便也。瓯罗巴在回回西，其风俗相类，而好奇喜新
竞胜之习过之。故则历法与回回同源，而世世增修，遂非回回所及，亦其好胜之欲为之
也。义、和既失其守，古籍之可见者，仅有《周髀》范围，亦可知其源流之所自矣。夫
旁搜采以续千百年之坠绪，亦礼秀求野之意也，故备论也。
志第八 历二
▲大统历法一上法原
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之
造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其
法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可
考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成
之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。
今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之
目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三
差，曰里差刻漏。
▲句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至
地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢
余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下
七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至
地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，
截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股
五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地
度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极
出地度。
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。少不用。半径六十零度八十七分半。又为黄赤道
大弦。二至黄赤道内外半弧背二十四度。所测就整。二至黄赤道弧矢四度八十四分十二
秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。半径内
减去矢度之数。
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，
为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减
益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为
下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，
与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，
并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法
乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。黄赤道
同用。
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一
百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背
幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千
七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二
百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度
零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九
三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自
之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四
七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二
二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二
九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二
秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二
十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千
四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八
十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得
一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得
一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三
百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九
一二零二零四四。不足一秒叶不用，下同。
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。
数详后。
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置
黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。黄赤道大弦半径为法。实如法而一，
为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。
以差去减黄赤道积度，即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，
黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，
以周天半径亦为赤道大弦乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小
股，亦为赤道横小句以赤道大弦即半径乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，
以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以
差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，即黄
赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，
以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以
黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道
小股。又为赤道小句。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为
法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余
为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度
为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为
句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零
二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径即赤道大弦乘之，得六十零度八七五
为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。
置黄赤道小股五十六度零一九二，又为赤道小句。以赤道大弦半径六十零度八七五乘之，
得三千四百一十零�