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这样，问题的提法就变成了下面这个样子：当数学家搞出一种发明，从而为一系列新的可能性开拓道路时，这是否只是一项主观的或历史－心理发生的事件，只有从连续多少世代的人类研究者经过长时间的工作的观点来看才是具有意义的呢，还是我们应当把这种发明看成是一个中间环节呢？这个环节把一个在确定水平上的可能性总体，跟一个在阶梯性体系上位置截然不同的、没有包含在早先各总体之中、因而就运演来说是一种新的可能性总体联结了起来。费弗尔曼和舒特的研究（继克利恩、阿克曼和韦穆斯对超限的东西作“建构性”的形式化的一些论文之后）为这个问题提供了解答，这个解答在超限数的领域内似乎是明确的。他们的研究工作是以对一个数“Kappa0”（K0）的定义为根据的，这个数为可论断性确定了一个极限。换句话说，直到K0之前而并不包括K0，我们可以使用一种“有效的”建构性原则，也就是说，使用一种组合系统，根据这个系统每一个建构都可以变成可决定的。但这种方法并不足以给K0下定义，而超出这个极限则更加是不适当的。另一方面，超出这个极限，则为我们可以称之为“相对的”循环性和可决定性的东西提供新的可能性。因此，假设有一个类S0，其中每一元素都是可决定的，此外又假定有一个不能决定的命题ND1，那末，在ND1可以借助于这系统之外的一些特殊假设而被认为是真的（或是假的）这个前提下，则集S0（＝S0＋ND1）由于参照ND1而成为“相对地可以决定的”了。再进一步，如果对S1又加上一个新的不能决定的命题ND2，那末在这命题能用同样地是外部的理由来证明其真实或虚假这个前提下，人们将得到“相对地可决定”的集S2（＝S1＋ND2）；按照无限归纳法还可以一直类推下去。
因此，这些不同程度的可解答性，就跟一种按阶梯排列的结构相对应，这种结构引进越来越重要的、不能决定的问题。但是这种阶梯性体系并不形成一个完全是线性的级数，它不能由一个有效的公式或法则来表达：我们不得不退回到一系列（有关ND命题的）连续的发明上去，在那里每一个阶段都不能归结到先前的阶段，而且越下去就越是这样。这些结果具有两重好处。一方面，谈论预成论的概念变得难于站得住脚了，因为一旦超越了K0这个极限，我们就丢下了组合的领域；而关于新发现事先就包含在可能的组合系统之内这个古典的虽则是成问题的说法也就失去了它的价值。另一方面，从一个水平到下一个水平的每一个过渡都开拓了新的可能性，这使人们作出推断说，在数学中也同在其它领域中一样，可能性的王国不是一劳永逸地达到的，好象存在着一个可以供人阅览的达到可能性王国的程序表一样。事实上，这种“阅览”就已经牵涉到由连续现实化所致的建构；正如我们已经看到的，在“有效的”建构作用以后会出现至今尚不知道的其它的建构作用。
C。一般说来，我们可以说发生认识论所阐述的问题是：认知结构的发生是否仅仅表明了获得认识的全部先决条件，还是提供了认识的组成条件。换句话说：认识的发生是与一个阶梯性结构体系，甚至是一个天然的相互依赖性结构体系相对应的呢，还是认识的发生只是描述主体发现这些作为预先存在的实在的结构时所经历的时间过程呢？后一看法包含着这些结构是预先形成的这个见解：这些结构或者形成于物理实在的客体之中，或者先验地形成于主体自身之中，或者形成于在柏拉图意义上的可能性的理念世界之中。现在，发生心理学通过它对认识发生本身的分析，已试图证明这三种假设都是不适当的，并试图为广义的发生学建构是一种有效的组织性的建构这一见解提供一个例证。现在是看一看这些目的的提出究竟是否有充分根据的时候了。
（a）让我们从柏拉图的概念谈起。在那些认为数学实体永远不依赖其建构而存在的数学家方面，这一概念表示着某种粗鲁的常识。然而历史和心理发生二者似乎都证明：第一，这样一种永久存在（一种“存在物”，“本质”，等等）的假设，对逻辑数学的知识本身并没有增添任何东西，而且也绝对不会改变这种认识；第二，假定这些实体是存在的话，主体也并不具有任何能使他达到这些实体的特定认知程序；逻辑数学认识的唯一已知方法是那些存在于这种认识的建构过程之中的方法，因而是自足的方法。
让我们先考虑这两个论点中的第一个：在关于物理客体是存在的假设同关于数学实体是存在的假设之间，在作用上是有明显差异的。如果说通过探寻物理学中的恒常性而得出结论说在能观察到的东西背后存在着真实的物理客体，这就是大大地修正了对因果关系的解释；因为，如果科学家把自己局限在可观察到的东西的范围之内，那么，因果关系就失掉了它的意义，如果科学家相信客体的存在，那么，因果关系就变成一个不可避免的概念了。另一方面，假定四变数法在哈密尔顿建构它们之前就已经存在，也对这些四变数法的性质没有任何影响。无疑，布劳尔的认为排中律有局限性的建构主义，和毫无限制地使用着归谬推理的演绎性建构的古典数学之间是有相当大的差异的。但从我们的观点看来，这两者只不过是两种不同类型的建构，或运演的两种不同的用法，在它们之间有所偏袒是无助于我们解决柏拉图主义所提出的问题的，尽管布劳尔的操作主义包含着一种显然是反柏拉图主义的认识论。
我们只碰到过一个例子，其中在提到柏拉图主义时就牵涉到对知识的一个部门作技术性的修正，这就是尤费特的说法：一个数学实体并不是像彭加勒所主张的那样，由于它的无矛盾性而存在，而是因为它的存在（在柏拉图主义的意义上）才避免了矛盾的。但是，虽然这个说法也许对于探索柏拉图信念的具体应用是个重要贡献，但这个说法已被戈德尔定理完全驳倒了，因为对一个体系的无矛盾性的论证是以另一个“更强的”体系的建构为前提的，考虑这些体系在柏拉图主义的意义上的存在是完全不相干的。
关于我们在上面提到的第二个论点，我们想提一下罗素思想发展上的一个人所熟知的阶段。在他信仰柏拉图主义的阶段中，他主张，正如“知觉”给我们以物质客体的认识一样，一种他称之为“概念”的特殊才能使我们能接近独立存在于我们之外的永恒理念。但是在这种情况下，对于那些不幸比真实的理念更为频繁出现的虚假的理念怎么办呢？罗素回答道：“嗯，它们也同真实的理念一起存在，正如红玫瑰和白玫瑰一起存在一样。”我们可以反问：从什么特定的时期起人们能有把握地知道概念是属于真实理念和虚假理念的永恒王国的呢；在前逻辑数学运演水平上的“前概念”也是属于那个王国的吗？感知运动格局也是这样的吗？显然，罗素很快就放弃了他的批判的柏拉图主义不是没有充分理由的；这对于他的想把数学归结为逻辑的企图，除了混乱之外并没有增加任何东西。
至于柏拉图主义对结构在发生学上的建构或历史上的建构可能具有的任何意义，我们将沿着同样的路线进行辩论。很清楚，柏拉图的假设在下述意义上是批驳不倒的，即一个建构一旦实现了，那末仅仅因为这一点就总可以说它在可能性的王国内是已经永恒地预先确定了的；当然，可能性的王国是被看成为一个静止的和已完成的整体的。但是，由于这个建构是我们达到这样一个理念的宇宙的唯一途径，所以这种建构是自足的，无需把建构成的产物看成是实在的。
（b）无论把认识的结构看成是在物理客体之中预先形成的，还是看成在主体之内先验地存在的，其困难在于：我们这里有两个具有限制作用的项，①它们的特性随着我们对其是否可以得到的信念的不同而有变化：在前一种情况下，信念越强特性就越为丰富；在后一种情况下，信念越强则特性越为贫乏。
①指客体和主体。——译注
客体肯定是存在的，客体又具有结构，客体结构也是独立存在于我们之外的。但客体及其恒常性只是借助于运演结构才为我们所认识，人把这些运演结构应用到客体身上，并把运演结构作为使我们能达到客体的那种同化过程的构架。所以客体只是由不断的接近而被达到，也就是说，客体代表着一个其本身永远不会被达到的极限。另一方面，每个因果性解释也是以把我们的运演归因于客体作为前提的，从而又成为客体结构同我们的结构之间的同构性的证据。但是这就使得要不顾我们的结构而对这些客观结构的本性作任何估价变得困难得多，这些客观结构的独立本性反过来又变成一个虽则我们被迫而相信其存在但又永远达不到的极限毕竟不难看出，作为一条自然规律或作为理性思维的一个要求，为什么弗兰克无法在这两个因果概念之间作出抉择：这个析取在我们看来既是非排它性的，又是可归结为逻辑的合取的。
但是，如果客观的结构由此而牵涉到一个由主体所提供的演绎要素，那么，逻辑数学结构就不能看成是由客体的物理结构或因果结构派生出来的了：它们的接触点必须在有生命的机体本身的内部去找，如我们在本书第二章中所看到的那样。逻辑数学体系正是通过我们的行为在这个根源之内加工制成，其形式是一系列不断的反身抽象和一系列连续更新的自我调节的建构。
这种把预先确定性放在主体之内而不是放在客体之中的先验假设，也包含有一个极限，但意义相反。看来在发生学上清楚的是，主体所完成的一切建构都以先前已有的内部条件为前提，而在这方面康德是正确的。然而他的先验论的形式是过于包罗万象的了：例如，他相信欧几里得空间的普遍必然性，而非欧几里得几何学已把欧几里得几何学归结为一种特例了。这就指引彭加勒作出结论说，只有群结构是必然的，但是发生学的分析却证明群结构也是逐步地建构成的。还有不少更进一步的例子。因此，看来如果我们希望得到一个真正的先验理论，我们就必得逐渐缩减最初结构的“内涵”，直到作为先行的必然性而保留下来的东西被缩减成一个简单的功能作用为止。这些结构化就是从这种简单的功能作用开始的：这是就拉马克的功能创造器官这个意义上讲的——这个意义在表现型的水平上依然是符合事实的。那末很清楚，这个功能上的先验论决不是排斥而是支持新结构的连续建构的理论的。
D。因此，新结构——新结构的连续加工制成是在其发生过程和历史过程中被揭示出来的——既不是预先形成于可能性的理念王国之中，也不是预先形成于客体之中，又不是预先形成于主体之中。这似乎表明，新结构的历史－心理发生上的建构是真正组成性的，不能归结为一组初始条件的状态。然而，这样一种主张是不能只求助于本书第一、二两章所考察的事实来予以证实的。此外，还有一个有效性的问题，因为一个结构的新异之点不只是一个需要实际检验的问题，而且同样