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3。 弯曲空间和重力之谜
读者们读过刚才这几十页有关四维坐标系的讨论；大概会有头昏脑胀之感；对此；我不胜抱歉之至。现在；我邀请诸位一起到弯曲空间去散散步。大家都知道曲线和曲面是怎么一回事；可是；“弯曲空间”又意味着什么呢？这种现象之所以难以想象；主要不在于这个概念的古怪；而在于我们不能象观察曲线和曲面时那样从外部来观察空间。我们本身生活在三维空间之内；因此；对于三维空间的弯曲；只能从内部来观测。为了理解在三维空间里生活的人如何体会空间的曲率；我们先来考虑假想的二维扁片人在平面和曲面上生活的情况。在图39A和 39b上；可以看到一些扁片科学家；他们在“平面世界”和“曲面世界”上研究自己的二维空间几何学。可供研究用的最简单的图形；当然是连接三个点的三条直线所构成的三角形了。大家在中学里都学过；任何平面三角形的三个内角之和都是 180° 。但是，如果三角形是在球面上，就很容易看出上述定理是不成立的。例如，由两条经线和一条纬线（这里借用了地理学上的概念）相交而成的三角形中，就有两个直角（底角），同时还有一个数值可在从0°到 360°之间的顶角。拿图 39b上那两个扁片科学家所研究的三角形来说，三个角的总和就是210°。所以，我们可以看出，扁片科学家们通过测量他那个三维空间中的几何图形，就可以发现他自己那个世界的曲率，而无须从外面进行观测。
将上述观察用到又多了一维的世界，自然能得出结论说，生活在三维空间的人类，只需要测量连接这个空间中三个点所成三条直线之间的夹角，就可以确定空间的曲率，而无须站在第四维上去。如果三个角的和为 180°就是平坦的，否则就是弯曲的。
不过，在作进一步探讨之前，我们先得把直线这个词的意思弄明白。读者们看过图39a和图39b上的两个三角形，大概会认为平面三角形（图39A）的各边是真正的直线，而曲面上出现的线条（图39B）只是球面上大圆的弧，所以是弯曲的。
这种出自日常几何概念的提法，会使二维空间的扁片科学家们根本无法发展他们自己的几何学。对直线的概念需要一个更普遍的数学定义，使它不仅能在欧几里得几何中站稳，还能在曲面和更复杂的空间中立足。这个定义可以这样下 ：“直线”就是在给定的曲面或空间内两点之间的最短距离。在平面几何中，上述定义和我们印象中的直线概念当然是相符的；在曲面这种较为复杂的情况下，我们会得到一族符合定义的线，它们在曲面上所起的作用与欧几里得几何中普通“直线”所起的作用相同。为了避免产生误解，我们常常把表示曲面上两点之间最短距离的线叫做短程线或测地线，这是因为这两个名词是首先在测地学一一测量地球表面的学问——中使用的。实际上，当我们说到纽约和旧金山之间的直线距离时，我们的意思是指“ 一直走，不拐弯”，也就是顺着球表面的曲率走，而不是用假想的巨大钻机把地球笔直地钻透。
这种把“广义直线”或“短程线”看作两点间最短距离的定义，向我们展示了作这种线的物理方法：我们可以在两点间拉紧一根绳。如果这是在平面上做的，那将得到一般的直线；如果在球面上做，你就会发现，这根绳沿着大圆的弧张紧，这就球面上的短程线。
用同样的方法，还可以搞清楚我们在其内部生活的这个三维空间是平坦的还是弯曲的，我们所需要做的，只不过是在空间内取三个点，然后扯紧绳子，看看三个夹角之和是否等于180°。不过在做这个实验时，要注意两点。一是实验必须在大范围内进行，因为曲面或弯曲空间的一小部分可能显得很平坦。显然，我们不能靠在哪一家后院里测出的结果来确定地球表面的曲率！二是空间或曲面可能有某些部分是平坦，而在另一些地方是弯曲的，因此需要作普遍的测量。
爱因斯坦在创立他的广义弯曲空间理论时，他的想法包含了这样一项假设：物理空间是在巨大质量的附近变弯曲的；质量越大，曲率也越大。为了从实验上证明这个假设，我们不妨找座大山，环山钉上三个木桩，在木桩之间拉上绳子，然后测量三个木桩上绳子的夹角。尽管你挑选了最大的大山一一哪怕到喜马拉雅山脉去找一一结论也只有一个：在测量误差允许的范围内，三个角的和正好是180°。但是，这个结果并不一定意味着爱因斯坦是错的，并不表明大质量存在不能使周围的空间弯曲，因为即便是喜马拉雅山，也可能不足以使周围空间弯曲到能用最精密的仪器测量出来的程度呢！大家应该还记得伽利略想用遮光灯来测定光速的那次失败吧！（图31）
因此，不要灰心，重新来一次好了。这次找个更大的质量，比如说太阳。
如果你在地球上找一个点，拴上一根绳，扯到一颗恒星上去，再从这颗恒星拉到另外一颗恒星上，最后再盘回到地球上的那个点，并且要注意让太阳正好位于绳子所围成的三角形之内。嘿！这下子可成功了。你会发现，这三个角度的和与180°之间有了可以察觉出来的差异。如果你没有足够长的绳子来进行这项实验，把绳子换成一束光线也行，因为光学告诉我们，光线总是走最短的路线的。
这一项测量光线夹角的实验原理如图40B所示。在进行观测时，位于太阳两侧的恒星S1和S2射来的光线进入经纬仪，从而测出了它们的夹角。然后，在太阳离开后再来测量。两次测量的结果加以比较，如果有所不同，就证明太阳的质量改变了它周围空间的曲率，从而使光线偏离原路。这个实验是爱因斯坦为验证他的理论而提出的。读者们可参照图41所绘的类似的二维图景，获得更好的理解。
在正常情况下进行爱因斯坦的这项实验，有一个明显的障碍：由于太阳的强烈光芒，我们看不到它周围的星辰。想在白天清楚地看见它们，只有在日全食的情况下才能实现。1919年，一支英国天文学远征队到达了正好发生日全食的普林西比群岛（西非），进行实际观测；结果发现； 两颗恒星的角距离在有太阳和没有太阳的情况下相差1。61“ ±0。30“；而根据爱因斯坦的理论计算值为 1。75“。此后又做了各种观测；都得到了相近的结果。
诚然；15角秒这个角度并不算大；但这已足以证明：太阳的质量确实迫使周围的空间发生弯曲。
如果我们能用其他质量更大的星体来代替太阳；欧几可得的三角形内角和定理就会出现若干分、甚至若干度的错误。
对一个内部观察者来说；要想习惯于三维弯曲空间的概念；是需要一定时间和相当丰富的想象力的；不过一旦走对了路，它就会和任何一个古典几何学概念一样明确。
为了完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个根本问题之间的关系；还要向前再走一步才行。我们叫必须记得；刚才一直在讨论的三维空间；只是四维时空世界这个一切物理现象发生场所的一部分，因此；三维空间的弯曲，只不过反映了更普遍的四维时空世界的弯曲；而表述光线和物体运动的四维时空线，应看作是超空间中的曲线。
从这个观点进行考虑；爱因斯坦得出了一个重要的结论：重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应。因此；关于行星直接受太阳的作用力而围绕它在圆形轨道上运动这个古老的观点；现在可以视为不合时宜而加以摒弃；代之以更准确的说法；那就是：太阳的质量弯曲了周围的时空世界；而图30所示的行星的时空线正是通过弯曲空间的短程线。
因此；重力作为独立力的概念就从我们的头脑中彻底消失了。代之而来的是这样的新概念：在纯粹的几何空间中；所有的物体都在由其他巨大质量所造成的弯曲空间中沿“最直的路线”（即短程线）运动。
4．闭空间和开空间
在这一章结束之前；我们还得简单讲一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问
作者：wyhsillypig 回复日期：2005…1…20 19：48：00
4．闭空间和开空间
在这一章结束之前；我们还得简单讲一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问题；即宇宙是否有限的问题。
到目前为止；我们一直在讨论空间在大质量周围的局部弯曲。这种情况好象是宇宙这张其大无比的脸上生着许多“空间粉刺”。那么；除了这些局部变化而外；整个宇宙是平坦的呢；还是弯曲的？ 如果是弯曲的； 又是怎样弯曲的呢？图42给出了三个长“粉刺”的二维空间。第一个是平坦的；第二个是所谓“正曲率”； 即球面或其他封闭的几何面，这种面不管朝哪个方向伸展；弯曲的“方式”都是一样的；第三个与第二个相反；在一个方向上朝上弯；在另一个方向上朝下弯；象个马鞍面；这叫做“负曲率”。这后两种弯曲的区别是很容易弄清楚的。从足球上割下一块皮子，再从马鞍上割下一块皮子；把它们放在桌面上，试试将它们展平。你会注意到；如果既不抻长又不起皱；那么无论哪一块都展不成平面。足球皮需被抻长，马鞍面将会出褶；足球皮在边缘部分显得皮子太少；不够摊平之用，而马鞍皮又显得多了些，不管怎么弄总要叠出褶来。
对这个问题还能换个说法。假如我们（沿着曲面）从某一点起； 数一数在周围一寸、两寸、三寸等范围内 “粉刺”的个数；我们会发现：在平面上；“粉刺”个数是象距离的平方那样增长的；即1，4，9，等等；在球面上；“粉刺”数目的增长要比平面上慢一些；而在鞍形面上则比平面上快一些。因此；生活在二维空间内的扁片科学家；虽然根本不可能从外面看一看自己这个世界的情况；却照样能通过计算不同半径的圆内所包含 的粉刺数；来了解它的弯曲状况。在这里；我们还能看出；正负两种曲面上三角形的内角和是不同的。前一节我们学过；球面三角形的三内角和总是大于 180°。如果你在马鞍面上画画看；就会发现三个角的和总是小于180°。
上述由考察曲面得来的结果可以推广到三维空间的情况上去；并得到下表。
空间类型 远距离状况 三角形内角和 体积增长情况
正曲率（类似球面） 自行封闭 ＞180° 慢于半径立方
平面 无穷伸展 ＝180° 等于半径立方
负曲率（类似马鞍面） 无穷伸展 ＜180° 快于半径立方
这张表可实际用来探讨我们所生存的宇宙空间究竟是有限的还是无限的。这个问题将在研究宇宙大小的第十章中再加以讨论。
第七章 现代炼金术
1。 基本粒子
我们已经知道，各种化学元素的原子有相当复杂的力学系统，原子由一个中心核及许多绕核旋转的电子组成。那么，我们当然还要问下去：这些原子核究竟是物质结构的最基本的单位呢，还是可以继续分割成更小、更简单的部分呢？能不能把这92种不同的原子减少为几种真正简单的微粒呢？
早在上一世纪中叶，就有一位英国化学家波路特（William prout） 出自进�