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，而不是放弃较简单的、较完美的和较持久的几何学概念，因为这些几何学概念形成了他的所有理论的牢固基础。
第三十一节
但是，从另一个方向来看，物理学家能够从几何学家的劳动中得到实质性的帮助。我们的几何学家总是涉及感觉经验的对象。然而，只要我们开始用像原子和分子——从它们的真正本性来看，它们从未能够成为感觉注视的对象——这样的思想事物操作，我们无论如何没有任何义务认为它们处在对我们感觉经验的欧几里得三维空间来说独有的空间关系中。这可以引起相信原子思辨是不可或缺的思想者的特别注意。
第三十二节
让我们在思想上返回几何学在实际生活需要中的起源。认识空间的物质性和空间的对象不管它们的运动之不变性，在生物学上对人的存在来说是必不可少的，因为空间的量直接与我们的需要的量的满足有关。当我们的生理组织未充分地提供这类知识时，我们使用我们的手和足与空间的对象比较。当我们开始相互比较物体时，我们便进入物理学领域，不管我们使用我们的手还是人造的量器。一切物理学的决定都是相对的。因此，所有几何学的决定同样相对于量器具有有效性。测量概念是关系的概念，该概念没有包含未在量器中包含的东西。在几何学中，我们仅仅假定，量器将始终并且处处与它在某一其他时间和某一其他地点重合的东西重合，但是，这个假定对于与量器有关的东西不是决定性的。代替空间的生理学的质的，是截然不同定义的物理的质，不要把后者与前者混淆起来，如同不要把温度计的指示与热的感觉等同起来一样。的确，实践的几何学家借助保持在恒定温度中的量器决定被加热的量器的膨胀，并注意到上述的叠合关系受到这种非空间的物理环境扰乱的事实。但是，对于纯粹的空间理论而言，所有关于量器的假定都是不相干的。完全在生理学上造成的认为量器是不变的习惯，心照不富地、但却不合理地保留下来。假定量器，从而一般地假定物体在空间中位移时经受了变化，或者它们在这样的位移时依然未变化——这个事实本身只能使用新的量器才能决定——也许是完全多余的和无意义的。这些考虑使所有空间关系的相对性变得显而易见。
第三十三节
如果量器的引入实质上修正了空间的质的标准的话，那么把数的概念引入几何学则使该标准受到更进一步的修正和增强。存在着通过这种引入获得的细微的区别，仅有叠合观念是永远无法达到这种区别的。算术应用于几何学导致不可公度性和无理数的概念。因此，我们的几何学概念包含不是空间固有的外加的要素；它们用某种纬度描述空间，也任意地以比空间观察更大的精确性可能实现。事实和概念之间的这种不完美的接触说明了不同的几何学体系的可能性。能够就物理学说严格相同的话。
第三十四节
导致我们的几何学观念转变的整个运动，必定能够被描绘成一个健全的和健康的运动。没有人认为，这个在若干世纪前开始、但在现在大大增强了的运动终止了。相反地，情况完全证明我们的下述期望是有正当理由的：它不仅促进了数学和几何学的巨大进展，尤其是在认识论的关系方面，而且也促进了其他科学的巨大进展。确实，这个运动受到几位著名人物的强大激励，但是它无论如何不是源于个人，而是源于普遍的需要。从参与其中的人的职业差别将看到这一点。不仅数学家，而且哲学家和教育学家也对它作出了巨大的贡献。不同的探究者寻求的和没有联系的方法也是如此。莱布尼兹表达的观念以稍微改变的形式在博里叶、罗巴切夫斯基、鲍耶和H．艾布（Erb）到那里重现哲学家于贝韦格（Ueberweg）在他反对康德时十分接近生理学家贝内克的观点，在他从付艾布（H．艾布提到K．A．艾布（Erb）是他的先驱）出发的几何学观念中行动在亥姆霍兹工作的颇大部分之先。
第三十五节
前面的讨论导致的结果可以概括如下：
（1）我们的几何学概念的起源被发现是经验。
（2）满足相同的几何学事实的概念的多样性被揭示出来。
（3）通过把空间和其他流形比较，便达到比较普遍的概念，几何学概念是这些概念的特例。几何学思想就这样摆脱了因袭的、迄今被想像为不可超越的局限。
（4）通过证明与空间同源但又不同于空间的流形的存在，提出了全新的问题。空间在生理学、物理学、几何学上是什么？由于其他性质也是可相信的，把它的特殊性质归因干什么？空间为什么是三维的？如此等等，不一而足。
第三十六节
对于诸如此类的问题，虽然我们没有必要期望今天或明天就可以作出回答，但是我们却在被调研的领域的整个深奥性面前停滞不前。我们将对“愚笨的人”的不适当的苛评不置可否，高斯曾预言他们会到来，他们的态度决定了他秘而不宣。但是，对于高斯、黎曼和其他后继者所遭受到的高居于科学界的人物的辛辣的和吹毛求疵的批评，我们将有话要说。探究者在知识的最外面的边界上发现了许多事物，这些事物没有平稳地滑入所有的头脑，但是由于这个缘故它们不是胡说八道，难道他们在自己身上从来也没有体验过这个真理吗？确实，这样的探究者易于出错，但是，即使一些人的错误也往往在它们的结果方面比另一些人的发现更富有成效。
《认识与谬误》
恩斯特。马赫著 洪佩郁译
第二十三章 与度规时间相对照的生理时间
第一节
在一个尽可能均匀和恒定的、附带在观念上具有最小的可能变化的环境中，如果我们好像从睡眠中醒来却还昏昏欲睡，我们听到时钟均匀的报时声，那么我们清楚地把第二个报时声与第一个区分开来，把第三个与第二个和第一个区分开来，一句话，把较后的与较前的区分开来，尽管所有报时声都具有相同强度的音高和音色。我们一点也不怀疑报时声之间的间歇的质，同时在无人为的帮助的情况下立即注意到这种事态是否被扰乱。我们即时地感觉到时间和在时间中的位置，恰如即时地感觉到空间和在空间中的位置一样。没有这种时间感觉，就不会有测时学，正像没有空间感觉就不会有几何学一样。
第二节
处在时间感觉的根底的独特生理过程的存在，很可能变成我们在最多变种类的时间结构中、例如在超越节奏而没有相似性的旋律中辨别节奏的质的给定的环境。我们感觉不受它的质妨碍的过程的节奏。明显的生理事实加重赞成这样的观点：基本的感官本身有助于空间感觉的建立。例如，扭转的弹簧或流水的运动的余像（普拉蒂奥和奥佩尔（Oppel）或者德沃日阿克（Dvi
rak）的在亮度上过长时间的变化的照亮或遮暗的余像（after…image），都是这样的事实。在即时的知觉的限度内（即略去钟表指针或抛射体的极端案例），位置和亮度的变化率不仅是数学的和物理学的度量的概念，而且也是生理学的对象。
第三节
在我们的生理时间直觉和通过物理过程相互之间的时间比较得到的度规时间之间，存在着类似于生理空间和度规空间之间的那样的差异。事实上，二者似乎是连续的；在生理时间中的稳定位移对应于在物理时间中的另一个位移，二者仅仅在一个方向流逝。不过，这穷尽了一致。与生理时间相比，物理时间时而流逝得较快，时而较慢；也就是说，并非所有相等的物理期间的过程对于即时的观察似乎都如此。时间中的点的物理辨别比生理辨别要精确得多。对于我们的时间直觉来说，现在看来好像不是时间的点——这个点必定总是内容空洞的，而是具有可变限度的值得注意的期间的时间之片断，这个限度模糊不清，实际上难以决定，因案例不同可以移动，时间直觉被恰当地局限于这个限度，并通过过去的记忆和由幻想想像的未来——二者出现在真正按透视比例缩小的时间透视图中——十分微妙地完成了。这使时间直觉的限度为什么是不精确的变得不可理解。对于物理学来说，一个周期性地重复的个体的节奏只不过是一个个体的结构；对于我们的时间直觉而言，这个结构的形式在注意力到达之点变化。以相同的方式，一个几何学结构的形式对于空间直觉来说按照取向和固定的点而变化，这对于一维时间而言限定于单一的决定因素。
第四节
今天，我们几乎不能怀疑，时间直觉像空间直觉一样，是受我们的遗传的身体组织制约的。要使我们自己摆脱这些直觉，我们必然是枉费心机。但是在这样采纳天生的理论时，我们没有断言，它们在诞生时就完备地发展得充分明晰了；也没有断言，我们放弃了关于它们如何与生物学需要联系或后者如何影响系统发育和个体发育的发展之陈述。最后，在这方面，迄今还没有一个人排斥空间和时间的直觉如何与几何学和测时学的概念关联的研究。对概念而言，直觉是必要的，但不是充分的；要形成度规概念，我们需要关于物体的相互空间行为和物理过程的时间行为的互补经验。
第五节
让我们首先力图阐明时间感觉的生物学意义。在斯宾塞那里，我们找到了恰当的评论：时间感觉的发展与空间的发展结合在一起，并依赖于它。针对无论力学的还是化学的感觉的刺激仅仅需要维护自身或使自身适应的动物，将以相应的同时发生的反应对付。这些最后的反应可能与在组织上受制约的，不受环境影响的过程的时间进程关联在一起；这样的自动的过程将造成对有意识的时间概念的需要。不过，当感觉的行动的空间半径变得较大时，以致在它到达能及的范围内之前，正在趋近的猎物因气味、声音或在一定距离可以看见的踪迹将暴露自身时，此时便需要按序列的自然的时间顺序这样趋近序列。因为没有这样的心理重演，反应就不能以例如捕获所要求的在时间上有序化的和被度量的阶段开始行动。然而，一旦猎物被吞下，消化过程便与意识无关，因此不再参与它。时间的感觉和观念是在适应时间和空间的环境的过程中得以发展的。人的兴趣横跨空间和时间的最广泛的延伸，因而人事实上具有最发达的时间的感觉和观念。
第六节
这实际上是我们经验的心理重演的基本特性，这些重演不仅就可感觉的要素及其结合的质而言，而且也就空间和时间的关系和大小而言都像原型（original）。准确决定的东西是实践和注意的程度，但是，甚至不注意的人在记忆中也没有看到屋顶向下的房子，大建筑物在他看来好像不具有小人国的尺度或不具有不均衡的高烟囱，在回忆音乐的片断时，我们没有颠倒音调或节奏的时间的序列，柔板并未作为快板重演，反之亦然。这一切指明这�