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情况似乎是，事物在其中实际上是最简单的数学，是类比首先在其内清楚地揭示它的阐明、简化和启发作用的第一个领域。无论如何，亚里士多德就他所讲到的而言，把类似与定量的比例关系联系起来。一些简单的类似甚至在古代必定震撼了探究者。例如，欧几里得（第7编，定义16）称两个数之积为“面积”，称因子为“边”，称三个数之积为具有作为“边”的因子的“立体”（定义17），称两个或三个相等因子之积分别为“平方”和“立方”（定义
18，19）。在柏拉图触及几何学概念的地方，他使用了相似的术语。代数的发明依赖于看见算术运算的类似，而不管数有什么不同：于是，在这里，在概念上等同的东西将一下子被一劳永逸地处理。在数量类似地进入运算之处，我们于是从一个结果通过简单的类似的符号交换得到所有其他结果。笛卡儿的几何学广泛利用了代数和几何学之间的类似，格拉斯曼的力学或矢量理论广泛利用了线和力、面积和力矩等等之间的类似。数学的每一个物理应用都依赖于注意到事实和数学运算之间的类似。
第四节
开普勒明确认识到类似对于认知的巨大价值。在就它们的光学性质处理圆锥截面时，他说：“圆的一个焦点是A，即处在中心；在椭圆中，有两个焦点A和B，它们以比较突出的作用距图形中心等距离。在抛物线中，一个焦点在截面内，另一个焦点在必定处在距第一个焦点无限远的轴上的外侧或内侧，以致从这个盲焦点到截面的任一点G所画的线段HG和IG平行于轴。在双曲线中，外焦点F距内焦点E较近，是较钝的曲线；在相对的分支无论哪一个之外的焦点处在另一个之内且相反。借助类似可得，在直线上，无论哪一个焦点（按通常的方式我们并未如此之多地论及直线，而宁可说是讨论完全类似）落在该直线上：像在圆上一样，仅仅有一个焦点。在圆上，焦点这样在中心，距圆周尽可能远，在椭圆上已经较少，在抛物线中更少，最后在直线中它处在最小的距离，也就是说它落在该直线上。因此，在圆和直线的极端案例中，焦点结合在一起，在前者距曲线尽可能地远，在后者完全落在它之上。在居间的案例中，两个焦点在抛物线中相距无限远，距双曲线和椭圆的侧边是有限远；在椭圆上第二个焦点在内部，在抛物线上在外部，由此比率具有相反的符号……类似的几何学表达应该供我们使用；我的确十分热切地爱恋类似，我的忠诚的大师们，意识到自然的所有秘密：我们尤其必须在几何学中探求它们，就处于极端案例之间的无数多的案例而言，此时不管我们用荒谬的片语推出的居间案例有多少，类似都把任何对象的全部本质明晰地呈现在我们眼前。”
第五节
在这里，开普勒不仅强调类似的价值，而且也正确地强调连续性原理，惟此才能够导致地达到这样的抽象程度，以致容许他把握如此根深蒂固的类似。至于古人的科学的创作法，我们所知甚少，我们罕有他们最重要的探究结果。不管怎样，呈现的形式往往如此隐藏了实际的探究路线，欧几里得的例子显著地表明了这一点。不幸的是，在最近的时期常常模仿古人的范例，这是由于严格性被高估了，有损于真正的科学兴趣。当导致并确认思想的所有路线和动机清楚地展现出来时，思想便被最完备地和最严格地创立了。与先前比较熟悉的和无争议的思想的逻辑联系只是这个基础的一部分。只要思想产生的动机继续有效，这些动机被完全澄清的思想就永远不会丧失，不过当辨认出动机衰朽时，便能够立即放弃思想。
第六节
研究来自文艺复兴时期的自然科学的经典著作，是如此令人愉悦和富有持久的、不可替代的教益，恰恰因为那些伟大而朴素的人物详尽无遗地告诉我们，他们发现了什么，他们在探究和发现的适度的享受中如何找到它们，而没有任何职业上的和学术上的故弄玄虚。
哥白尼、斯蒂文、伽利略、吉尔伯特（Gilbert）、开普勒提供了科学探究的最伟大的成功范例，这些范例毫不浮夸地告诉我们，探究的主导动机是什么：例如有形实验和思想实验的方法，简单性原理和连续性原理等等，以最简单的方式使我们熟悉。
第七节
除了这种世界主义的开放特性而外，那个时期的科学由于在抽象方面异乎寻常地增长而卓尔不群。正是摆脱了个人经验才使科学发展了，而古代科学普遍停滞不前恰恰是由于停留在个人经验的水平上。不过，如果人们借助继承的丰富储备起步，那么人们便处在比较有利的位置上，从而能够以比较为目的频繁地、多变地和急剧地瞥见特定发现的整个范围，由此即使在离得很远的东西中发现共同的特征，而原来的发现者或初学者却因差异而扔掉这些共同特征。尤其是，当变化连续地或以小步骤发生时，系列的遥远成员的类同变得显而易见，从而使人意识到，不管变化如何，什么依然是相同的。例如，一对相交的线可能看来像是双曲线，一条直线可能看来像是两个折迭的双曲线分支，一个线的截段可能看来像是椭圆等等。对开普勒来说，平行线和相交的线的差别仅仅归因于它们的交点的距离。在他的较年轻的同代人德扎尔格（Desargues）看来，线是其中心处在无限远处的圆，切线是具有重合的交点的割线，渐近线是在无限远点处的切线等等。所有这些到现在为止是明显的步骤，却对古代几何学家设置了难以克服的困难。借助连续性原理，我们达到较高水平的抽象，从而达到较高水平的把握类似的能力。以我们的几何学直觉，连续变化的数量的类似导致在牛顿形式和莱布尼兹形式二者中的微积分，把代数符号表示与日常语言作比较，给予莱布尼兹以普适特征或概念记号的观念，从而导致好容易才回归生活的逻辑发现。拉格朗日（La…grange）以高水平的抽象，能够看穿起因于独立变数的变化的小增量与起因于函数形式的变差的小增量之间的类似，这导致变分法的创立。
第八节
如果对象M具有标记a，b，c，d，e，另一个对象N就a，b，c而言与它一致，人们倾向于期望它将在d，e也一致，这一期望在逻辑上未受到辩护。逻辑仅仅保证与被固定的东西一致，只要把它保留下来，这就不能遭到反驳。不过，我们的期望依赖于我们生理的和心理的组织。出自相似和类似的推断严格说来不是逻辑的事情，至少不是形式逻辑的事情，而仅仅是心理学的事情。若上面的a，b，c，d，e是直接可观察的，则我们涉及相似，若它们是标记之间的概念关系，类似则更接近正规的用法。如果对象M是熟悉的，那么对N的考察将通过联想使我们想起与所观察的a，b，c并列的d，e，倘若d，e是无关紧要的，这便终结了该过程。当d，e具有强烈的生物学的利益时，因为它们具有有益的或有害的性质，或者它们对某一应用的或纯粹科学的及理智的意图特别有价值时，情况就不是如此了。在这种情况下，我们感到不得不寻求d，e，以密切的注意力等待结果。这将借助简单的感官观察，或借助复杂的技术的或科学的概念反应而达到。无论结果是什么，我们还将通过得到相对于M的新一致或新差异，扩大我们对于N的知识。两种情况同等重要，都包含着发现，但是就一致而言，我们具有把一贯的概念扩展到较大领域的更加显著的特征；这就是我们对寻求一致特别热心的原因。就我们为什么重视从相似和类似推断而言，这相当于作了简单的生物学的和认识论的叙述。
第九节
相似和类似的考虑在几个方面是扩展知识的富有成果的动机。一个还相当不熟悉的事实范围N，可以显示出与另一个比较熟悉的。直接的直觉较为可以达到的事实范围M的某种类似：我们感到立即被驱使以思想。观察和实验在N中寻求与M的已知特征或这些特征之间的关系对应的东西，通常这将揭示出关于N的迄今未知的事实，从而发现这些事实。即使我们的期望受挫，我们发现了N和M之间的未曾料到的差异，我们也不是劳而无功：我们最终更充分地了解N，从而丰富了我们对它的概念上的把握。促动我们使用假设的，恰恰是简单性和类似的这种吸引力：假设使我们的直觉和幻想活跃起来，从而激发有形的反应。此外，假设的功能部分地被加强和被砥砺，部分地被消灭，无论在哪种情况下这都扩大了我们的知识。
第十节
几个同样已知的范围M，N，O，P可以以两个或更多的群进入类似。不用说，这些范围具有差异以及一致，否则它们会是等同的。因此，在类比（analogizing）时，我们可能时而偏爱从一个范围开始，时而宁可从另一个范围开始，这将揭示出不同的类似，每一个都在它的背景中受到辩护：很清楚，这个过程将表明，什么在我们的概念中是偶发的和任意的，它们中的哪一个是最广泛和最一贯地适用的，因而是最符合科学的理想的。
第十一节
并不缺乏类似重要性的例子；事实上，在自然科学中怎么高估它都不算过分。即使在古代时期，直接可见的水波阐明了声音传播的过程，并使之变得易于理解。至于光，合适的观念是从声音的案例中发展起来的。伽利略发现木星的卫星，比其他论据更为强有力支持了哥白尼体系：我们在这里有太阳系的小尺度的模型。惠更斯高度评价这一支持。
第十二节
法拉第在1845年用实验证明，电流使光的偏振面转动，这是通过类比（analogy）作出伟大发现的最引人注目的例子之一。早在二十年前，J．F．W．赫谢尔已经猜测到光和电之前的这种关系，他在他的实验中受到正确观念的指导，尽管结果是否定的，因为所施加的力太小（1845年11月9日致法拉第的信）。偏振面的转动随着光线在某些刚体和流体介质中行进，给赫谢尔以螺旋的印象。因此，他在石英中寻找螺旋面的不对称，确实发现了它：光学的螺旋面的不对称从而对应于介质中的同一特征。现在很清楚，直线电流在它联合的磁场中表现出这种螺旋结构，以致赫谢尔期望它像石英那样影响偏振光：为检验这一点，他首次使光线通过载流线圈（正如法拉第后来做的那样），然而在另一个实验中，使光线平行于两条带有相反电流的平行导线并在其间通过，但没有肯定的结果。
第十三节
另一个类似在已知范围起作用的例子是博里叶的热流理论，这显然是通过与水流的类比提出的。从他的热传导理论中，其他理论依次也通过类比得以发展，例如电流理论和扩散流理论。与这些独立和并行，在这里还发展了对应的力超距吸引理论。在把这些给出了广大事实范围的综合阐明的理论加以比较时，许多类似浮现出来。W．汤姆孙（开耳芬勋爵）把热传导理论和引力理论作了比较，他发现，如果我们分别用势和力的概念代替温度和温度梯�