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在特称三段论中，显然在任何条件下都可能通过虚假前提获得一个真实的结论。因为所设定的词项必定与当前提是全称的时所设定的词项相同。在肯定三段论中是肯定词项，在否定三段论中是否定词项。无论我们设定不属于任何一个的属于所有，还是设定属于某个的属于全体，这对于词项的规定是无所谓的。在否定三段论中，情况也同样。
很显然，当结论是虚假的时，则论证的根据必定要么全部、要么部分是虚假的；但结论是真实的时，论证的根据并不必然全部或部分是真实的，即使三段论没有一部分是真实的，结论也可能是真实的，尽管它不是必然可以推出。理由在于，当两件事物相互联系，第一件存在，第二件也必然存在时，那么，当第二件不存在时，第一件也必然不存在；但当第二件存在时，第一件不必然存在。因为无论同样的决定因素属于还是不属于，同一事物都必然存在，这是不可能的。我的意思是说，例如，无论A是白的还是不白的，B必定是大的，这是不可能的。因为当这个特殊的事物A是白的时，这个事物B必定是大的，并且如果B是大的，则C不可能是白的，那么如果A是白的，C便不可能是白的。当两件事物中前者存在时，后者必定存在，如果后者不存在，则前者A不能存在。因而当B不是大的时，A不可能是白的，但如果当A不是白的时，D必定是大的，那就必然可以推出，当B不是大的时，B自身是大的，但这是不可能的。因为B如果不是大的，A就必然不是白的。因而，如果当A不是白的时，B是大的，那就可以推出，如果B不是大的时，它是大的，正如证明是通过三个词项获得的一样。
【5】 循环或交互证明就是通过结论，通过一个前提的简单换位，来证明另一个在原来的三段论中设定的前提。例如，假如要求证明A属于所有C，这途径是通过B来证明，然后又转而要求证明A属于B，设定A属于C，C属于B，所以A属于B（在原来的三段论中设定了相反形式的命题：B属于C）；或者假如要求证明B属于C，人们会说A是C的谓项，这是以前的结论，并且B是A的谓项（而在原来的三段论中设定的命题形式与此相反：A是B的谓项），交互证明在其他任何方式中都是不可能的。因为如果我们设定一个不同的中项，则证明不是循环的（因为没有相同的命题被设定）；如果我们要设定它们，则必定只有一个；如果两个都被设定，我们就得到了与以前相同的结论，而不是获得另一个。
因而，当转换不可能时，三段论由此产生的前提之一是不能被证明的；因为，从给定的词项中不可能证明小词属于中词或中词属于大词。但如果转换是可能的，即如果A、B、C可以互相转换，那么就能交互地证明一切事物。设AC通过中项B被证明，AB通过结论以及前提BC的转换得到证明，BC也用同样的方式，即通过结论和前提AB的转换被证明。可是，我们必须证明前提CB和BA，因为这些是我们使用过的前提中仅剩的尚未被证明的前提。如果设定日属于所有C，C属于所有A，我们就能得出一个关于B与A的联系的三段论。再者，如果设定C属于所有A。A属于所有B，则C必定属于所有B。在这两个三段论中，前提CA都是断定的，而没有经过证明（其他前提已经被证明了），因此，如果我们证明了它，那么它们就都能交互地得到证明。如果设定C属于所有B，B属于所有A，这两个所设定的前提都已被证明，则C必定属于所有A。
因此，很显然，只有当换位可能时，循环的交互的证明才可能产生；在其他三段论中，它们的使用情况一如上述。在它们之中也会出现用有待于证明的东西来进行证明的情况，我们通过设定C述说A证明C述说B、B述说A，我们又通过这些前提证明C述说A。所以，我们是使用了结论来进行证明。
在否定三段论中，交互证明是这样产生的。让B属于所有C，A不属于任何B，结论是，A不属于任何C。如果反过来要求确立以前所设定的A不属于任何B，则我们要有前提A不属于任何C，C属于所有B；这样，前提BC就颠倒了。另一方面，如果要求确立B属于C，则前提AB一定不能再像以前那样换位（因为前提“B不属于任何A”与“A不属于任何B”是相同的）；但我们必须设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体。让A不属于任何C（它是以前的结论），设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体，则B必定属于所有C。
这样，在三个命题中，每一个都变成了结论，这就是循环证明，即设定结论以及一个前提的换位，由此推论出余下的前提。
在特称三段论中，全称前提不能通过其他前提得到证明，但特称前提却可以。全称前提不可能被证明是很显然的。因为全称前提是通过全称前提证明的，但结论不是全称的。而我们必须从结论及另一个前提中得出证明（此外，如果前提可以互换，则根本不会有三段论产生，因为两个前提都变成了特称的）。但特称前提是可以证明的。设定通过B 证明A述说于有些C。如果设定B属于所有A，结论不变，则B属于有些C，因为这是第一格，中词是A。
如果三段论是否定的，则全称前提不可能被证明，原因如同上述。但特称前提是可以证明的。如果AB可以像在全称三段论中那样转换，即B属于A不属于其有些部分的事物的有些部分，否则，就不能产生三段论，因为特称前提是否定的。
【6】 在第二格中，肯定命题不能以这种方式证明、但否定命题却可以。肯定命题不能被证明，因为两个前提并不都是肯定的，结论是否定的，而肯定命题只能为两个都是肯定的前提所证明。否定命题可作如下证明。让A属于所有B，但不属于任何C，结论是B不属于任何C。那么，如果设定B属于所有的A，不属于任何C，则A必定不属于任何C，因为这是第二格（中词是B）。如果设定AB是否定的，另一个前提是肯定的，那么这就是第一格。因为C属于所有A，B不属于任何C，所以B不属于任何A，因而A不属于任何B。这样，根据结论和一个前提，三段论不能成立。但如果再设定一个前提，则三段论就可以成立。
如果三段论不是全称的，则全称前提不能被证明（原因如同上述），但当全称陈述是肯定的时，特称前提可被证明。让A属于所有B，但不属于所有C，结论是BC。那么，如果设定B属于所有A，但不属于所有C，则A不属于某个C（中词是B）。但是，如果全称前提是否定的，前提AC不可能通过AB的换位得到证明，因为由此可推出，要么一个，要么两个前提变成了否定的，所以三段论不能成立。但可以用在全称三段论中所使用的相同方法来证明它，即设定A属于某种B不属于的东西。
【7】 在第三格中，如果设定两个前提都是全称的，则交互证明不可能，因为全称命题只能通过全称前提得到证明。在这个格中，结论总是特称的；所以很显然，全称前提根本不可能在这个格中得到证明。但是，如果一个前提是全称的，另一个前提是特称的，则交互证明有时可能，有时不可能。当我们设定两个前提都是肯定的，小前提是全称的时，是可能的，当另一个前提是全称的时，则不可能。让A属于所有C，B属于某个C，结论是AB。那么，如果设定C属于所有A，就可以证明C属于某个B，但不能证明B属于某个C。同样必然的是，如果C属于某个B，B必定也属于某个C，但“X属于y”并不与“y属于X”相同；我们必须进一步设定，如果X属于某个y；则y也属于某个X。如果我们设定了这一点，则三段论就不再是从结论及另一个前提中产生的。如果B属于所有C；A属于某个C，则在设定C属于所有B；A属于某个B之后，前提AC就能得到证明。因为如果C属于所有B；A属于某个B；A就必定属于某个C；B是中词。
当一个前提是肯定的，另一个前提是否定的，肯定前提是全称的时，另一个前提就能得到证明。让B属于所有C；A不属于某个C；结论是，A不属于某个B。所以，如果进一步断定C属于所有B；则必然可以推出A不属于某个C；中词是B。但当否定前提是全称的时，另一个前提便不能得到证明。除非像在前一个例子中那样；设定当一个词项不属于某个事物，另一个词项却属于另个事物。例如，如果设定A不属于任何C；B属于某个C；结论是A不属于某个B。所以，如果设定C属于某种A所不属于的事物，则C必然属于某个B。不可能用将全称前提换位的方法证明另一个前提，因为无论何种情况，三段论都不成立。
因此，很显然，在第一格中，交互证明既通过第三格也通过第一格而产生。当结论是肯定的时用第一格，当结论是否定的时用第三格；因为已经设定，如果一个词项不属于某事物的任何一个，则另一个词项属于那个事物的全体。在中间格中，当三段论是全称的时，交互证明无论是通过这个格自身还是通过第一格都是可能的；当它是特称的时，则既可以借助这个格，也可以借助最后格；在第三格中，一切证明都只能通过这个格自身。很显然，在第三格以及在中间格中，不通过这些格自身而产生的三段论，要么不能根据循环论证证明，要么是不完善的。
【8】 转换一个三段论即是将结论倒转，这样构成一个要么大项不属于中项，要么中项不属于小项的三段论。因为如果结论被转换，一个前提仍与以前一样，那么剩下的前提必定是无效的。如果它是有效的，则结论也必定是有效的。我们把结论转换成相矛盾的还是相反对的，这是有差异的；因为转换的方式不同，所产生的三段论也不相同。这从下面的解释中将会看得很清楚（“属于所有”的矛盾面是“不属于所有”，“属于某个”的矛盾面是“不属于任何一个”，而“属于所有”的反对面是“不属于任何一个”，“属于某个”的反对面是“不属于某个”）。
让我们假定，A述说所有C；已经通过中词B证明。设定A不属于任何C；但属于所有B，则B不属于任何C。如果A不属于任何C，但B属于所有C，则A不属于所有B，但根本不能推论出它不属于任何B，因为以前说过，全称命题不可能力最后格所证明。一般说来，不可能通过换位使全称的大前提无效，原因在于，反驳总是通过第三格；因为我们必须设定两个前提与小词相联系。
如果三段论是否定的，同样的道理也适用。假如A不属于任何C已经通过中项B得到证明，因此，如果设定A属于所有C，但不属于任何B，则B也不会属于任何C；如果A和B属于所有C，则A属于某个B，但根据假设它不属于任何B。
但是，如果结论是在相互矛盾的意义上被换位，则三段论也是矛盾的，不是全称的；因为前提中有一个特称，则结论也是特称的。假定三段论是肯定的并且在刚才所说的意义上被换位，因此，如果A不属于所有C，但属于所有B，则B不属于所有C，如果A不属于所有C，但B属于，则A不属于所有B。如果三段论是否定的，情况也相同。因为如果A属于某个C，但不属于任何B，则B不属于某个C，但不是绝对不属于任何一个。如果A属于某个C，B属于所有C，正像原来所假定的那样，则A属于某个B。
在特称三段论中，（1）当结论在矛�